Intersección de subespacios de $n+k$ $\mathbb{R}^n$

Question

En $\mathbb{R}^n$, $n\ge 3$ considere la posibilidad de $n+k$ vectores $v_1,\dots, v_{n+k}$, $k\ge 1$ tal subconjunto de cardinalidad $n$ $\{v_1,\dots, v_{n+k}\}$ está compuesto de vectores linealmente independientes de a $\mathbb{R}^n$. Definir los subconjuntos $W_i$ $\mathbb{R}^n$ $W_i:=\{w\in \mathbb{R}^n|w\cdot v_i\le 0\}$, $i=1,\dots, n+k$.

¿Qué es una condición suficiente en $v_1,\dots,v_{n+k}$ a de garantía de $\cap_{i=1}^{n+k}W_i=\{0\}$?

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Mientras tanto, he tenido una idea:

Una condición suficiente para $\cap_{i=1}^{n+k}W_i=\{0\}$ podría ser, hasta la renumeración de los índices, $v_{n+1}=\alpha_1v_1+\dots \alpha_nv_n$ $\alpha_i<0$ todos los $i=1,\dots,n$. De esta manera, si $w\in \cap_{i=1}^{n}W_i,w\neq 0$, es claro que $w\notin W_{n+1}$. Pero este es un lugar desagradable condición: para $n$ grande que va a ser muy complicado para calcular el $\alpha_i$ (como debe calcular la inversa de las bacterias Gram matriz asociada a la base). ¿Conoce usted a un mejor estado?

Answer 1

Tenga en cuenta que su condición es lo mismo que decir que 0 es en el sentido positivo del cono generado por la $v_i$, es decir, en $C=\{\sum \alpha_i v_i \mid \alpha_i>0\}$ (usted puede en realidad aumentar un poco y sólo requieren que al menos $n$ de los coeficientes son cero). De hecho, si $w\cdot v_i\leq 0$ todos los $i$ tenemos que $0=w\cdot \bar{0}=\sum \alpha_i w\cdot v_i$ $w \cdot v_i$ debe ser cero para cada $i$ y desde el $v_i$ ocupar la totalidad del espacio de obtener ese $w=0$.

Esta condición también es necesario. Si $C$ no contiene el cero, luego de su cierre no es todo el espacio, ya que de lo contrario $C$ contendrá los puntos que están muy cerca de a $\pm e_i$, y por lo tanto contienen positivo de cono que contiene cero. Suponga que $z\notin \bar{C}$. El uso de la hyperplane teorema de separación (lo que podemos ya que tanto $\{z\}$ $\bar{C}$ están cerrados y convexos, y $\{z\}$ es compacto, podemos encontrar un vector distinto de cero $w$ y una constante de $c$ tal que $w\cdot z> c >w\cdot v$ todos los $v\in \bar{C}$. Si $v\in \bar{C}$ $rv\in \bar{C}$ por cada $r>0$, por lo que no podemos tener ese $w\cdot v>0$. Llegamos a la conclusión de que $w\cdot v\leq 0$ por cada $v\in \bar{C}$.

Si usted está buscando una manera de calcular esta $w$, entonces se puede multiplicar la totalidad de su sistema por un adecuado invertible la matriz y asumir que $v_i=e_i$$i=1,...,n$. A continuación, la condición se reduce a la no negativo de cono de $v_{n+1},...,v_{n+k}$ debe contener un vector tal que todos sus coordenadas son negativos. Así que si $k$ es mucho menor que $n$ usted tendrá una tarea mucho más fácil.

====EDITAR====

Si $g\in GL_n(\mathbb{R})$, luego $$\{w \mid w\cdot g(v_i)=0\}=\{w \mid g^t(w)\cdot v_i=0\}=(g^{-1})^t(\{w \mid w\cdot v_i=0\}).$$ A continuación, se deduce que el $(g^{-1})^t(\bigcap W_i)=\bigcap (g^{-1})^t(W_i)$, por lo que el $\bigcap W_i =\{0\}$ para el conjunto de $v_1,...,v_{n+k}$ si y sólo si el mismo es cierto para $g(v_1),...,g(v_{n+k})$. Así que la primera reducción será elegir $g$ que $v_i=e_i$.

El segundo paso es tener en cuenta que el $\sum \alpha_i e_i + \sum \beta_j v_{n+j}=0$ donde $\alpha_i, \beta_j>0$ es lo mismo que ser capaz de encontrar en el positivo de cono de $v_{n+1},...,v_{n+k}$ un vector con todas las anotaciones negativas. Por otra parte, si usted puede encontrar un vector no negativo en el cono (permitir a cero los coeficientes), entonces existe un vector en el sentido positivo del cono porque usted puede agregar una pequeña epsilon para cada coeficiente, sin cambiar los signos de las entradas del vector resultante.