$\pi$ cuando no está en base 10

Question

Muy novato aficionado matemático aquí. Mi hija (8 yo) es una de matemáticas drogadicto y está tratando de envolver su cabeza alrededor de los números irracionales. Estábamos hablando de $\pi$, y yo divagaba acerca de cómo las personas han puesto un montón de energía en la investigación de los 'siguientes dígitos' de $\pi$ y sus propiedades.

Entonces se me ocurrió que solemos discutir $\pi$ en Base 10, simplemente porque los seres humanos tienen 10 dedos de las manos y de los pies, etc. Cualquier características atribuidas a las cualidades de los dígitos de $\pi$ desaparecen en otras bases / (base 2, 12, etc.)

Por favor, perdona mi ingenuidad...

Answer 1

Excelente pregunta! Hay dos cosas que están pasando aquí - características atribuidas a $\pi$ sí, y las propiedades de los dígitos de $\pi$. En particular, las propiedades de la cifra en sí no puede cambiar cuando los cambios de base, (la relación de la circunferencia al diámetro de un círculo que no cambia si se pierde un dedo), por lo $\pi$ sí se quedará como está. Propiedades como la irracionalidad permanecer, ya sabemos $\pi$ no puede ser escrito como una fracción de números enteros, independientemente de la base en el que estamos. Por otro lado, las propiedades de los dígitos de $\pi$ puede cambiar! En otras bases, $\pi$ no empezar con el familiar $3.14\dots$, e interesantes coincidencias como la de Feynman punto no existe ninguna más.

En un nivel más profundo, no sabemos si los dígitos de $\pi$ aparecen "uniforme" en base 10, ni en ninguna otra base, relacionado con la idea de un número normal. Hablando de otras bases, específicamente, el BBP algoritmo proporciona una forma conveniente de calcular los dígitos de $\pi$ en base 16, y como un grifo algoritmo que ella no confía en las cifras anteriores para encontrar la siguiente, a diferencia de la mayoría de los familiares de los algoritmos para el cálculo de $\pi$.

Answer 2

Usted puede tratar de aprendizaje de fracciones continuas con tu hija. https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fractiony PIIIIIIII

Uno de los aspectos es inmediata: un número racional tiene un número finito (simple) la continuación de la fracción de un número irracional tiene un infinito. Mientras tanto, en la medida de como la historia, la aproximación de $\pi$ por Arquímedes es una continuación de la fracción convergente. Vamos a buscar que...Hmmm. Las cosas que he encontrado decir Arquímedes dio los límites superior e inferior. De todos modos, justo antes de la 292, el convergente $\frac{355}{113}$ es una muy buena aproximación, en relación con el tamaño del numerador y el denominador.

Simple continuación de la fracción de tableau:
$$ \begin{array}{cccccccccccccccccccccc} & & 3 & & 7 & & 15 & & 1 & & 292 & & 1 & & 1 & & 1 & & 2 & \\ \\ \frac{ 0 }{ 1 } & \frac{ 1 }{ 0 } & & \frac{ 3 }{ 1 } & & \frac{ 22 }{ 7 } & & \frac{ 333 }{ 106 } & & \frac{ 355 }{ 113 } & & \frac{ 103993 }{ 33102 } & & \frac{ 104348 }{ 33215 } & & \frac{ 208341 }{ 66317 } & & \frac{ 312689 }{ 99532 } \end{array} $$

https://oeis.org/A002485

https://oeis.org/A002486

Esto parece una buena idea para mí como para muchos de los estudiantes en este sitio no puede decidir qué hacer con ellos; por una variedad de razones, fracciones continuas no están en el plan de estudios en cualquier nivel, pero, a continuación, se muestran en la teoría del número de clases a nivel de la universidad. El resultado es una gran dosis de jerga con subíndices todos a la vez.