Problemas de construcción de geometría

Question

Recientemente, he estado tratando de mi mano en un par de construcción geométrica problemas utilizando sólo una regla y un compás. Hasta ahora he construido el siguiente:

• un triángulo equilátero
• un cuadrado
• un pentágono regular
• un círculo circunscrito alrededor de un triángulo
• un círculo inscrito en un triángulo
• una línea paralela a través de un punto
• una línea perpendicular a través de un punto
• un atravesada ángulo
• un segmento cortado en $n$ segmentos congruentes

No puedo pensar en otra cosa que hacer aparte de polígonos regulares, y no puedo encontrar una buena lista en línea. Puede alguien pensar que de cualquier otras construcciones que yo podría intentar? Soy nuevo en esto, así que si me dan algo increíblemente difícil, yo podría necesitar una sugerencia.

Gracias!

Answer 1

Un buen libro para consultar es "Uno de los Cien Grandes Problemas de Matemáticas Elementales: su Historia y de Su Solución" (nueva york: Dover Publications). Este es un idioma de inglés reimpresión de un alemán-idioma original del "Triumph der Mathematik" por Heinrich Dörrie (Leipzig).

1. Se ha demostrado que cualquier construcción sostenible con sin marcas de la regla y el compás se puede lograr con la brújula solo. Pruebe en alguna de sus ya conocidas construcciones. Cabe señalar que en este modo de una línea recta se considera conocido/construido si dos de sus puntos son conocidos/construido. El artículo 33 de la fuente citada.

2. Se ha demostrado que cualquier construcción sostenible con sin marcas de la regla y el compás se puede lograr con la regla solos, siempre que la fijación de un círculo (con centro) está presente en los alrededores. Pruebe en alguna de sus ya conocidas construcciones. El artículo 34 de la fuente citada.

3. Hay construcciones que no se puede hacer con sin marcas de la regla y el compás que se puede hacer si uno se permite hacer dos marcas en la regla (para el propósito de deslizamiento de una distancia fija). Estos son los llamados "neusis de construcciones. Pruebe algunos de ellos, por ejemplo, Trisection de un ángulo; la construcción de una raíz cúbica, de la construcción de ángulos y polígonos regulares no edificable por medios ordinarios, etc.

Answer 2

Esta página, tiene 40 retos diferentes. Podría ser útil. https://sciencevsmagic.net/geo/

Answer 3

Las construcciones en su lista son los básicos (pero fundamental). Intente más complicado variaciones:

• triángulo de problemas: dado 2 ángulos y 1 lado, construir el triángulo; dado 1 ángulo y 2 caras, dada una combinación adecuada de líneas internas (altura, mediana, bisectriz de un ángulo, ...) y así sucesivamente (algunos son más difíciles que otros);
• "CAD" estilo de las construcciones: las tangentes a un círculo desde un punto dado; tangente a dos círculos, la línea tangente a un círculo y perpendicular a una recta dada, ...
• lo que las operaciones aritméticas se puede construir? (números dados $a$, $b$, $c$, ... como la longitud o segmentos);
• (puntos) de las curvas: parábola, hipérbola, elipse, de la catenaria, ...
• figuras geométricas de la zona y algunos otros bienes(s);
• "los mínimos" figuras: figura [uno de ellos] a partir de una determinada familia que minimiza una cierta propiedad.

También puedes echar un vistazo a todas las preguntas en el "Relacionados con la" sección de este sitio. :-)

Answer 4

Hay interesantes regla sólo de las construcciones y, en particular, en el contexto de cónicas.

1. Cuando se administra cuatro puntos de $P_1,\ldots,P_4$ en posición general, estos determinan tres puntos: $$\begin{aligned} \{Q_{1234}\} &= \overline{P_1P_2}\cap\overline{P_3P_4} &\{Q_{1324}\} &= \overline{P_1P_3}\cap\overline{P_2P_4} &\{Q_{1423}\} &= \overline{P_1P_4}\cap\overline{P_2P_3} \end{aligned}$$ Ahora suponga que se dan $Q_{1234},Q_{1324},Q_{1423}$ $P_1$ lugar. Encontrar $P_2,\ldots,P_4$. El teorema de Desargues ayuda.
2. Dado cinco puntos de $P_1,\ldots,P_5$ de una cónica y un punto arbitrario $Q$ en el (proyectiva) plano, es posible, con la ayuda de Pascal del teorema, para construir el segundo punto de intersección de las cónicas con la línea de $\overline{P_1Q}$. Desde $Q$ es arbitrario, usted puede encontrar muchos más puntos de la cónica como quieras, con solo un la regla es necesario.

3. Polos y polares con respecto a algunos cónica. Por simplicidad, se empieza con un círculo para la cónica. Dado que el círculo y algún punto en el (proyectiva) plano (el polo), la construcción de sus asociados polar, con respecto a la circunferencia.

   Hay muchas construcciones de ahí el uso de una brújula, pero es posible para utilizar sólo una regla. Cómo? Revisar el punto (1) en esta lista. Si $P_1,\ldots,P_4$ están en el círculo, a continuación, $Q_{1234}$ pasa a ser el polo de la polar $\overline{Q_{1324}Q_{1423}}$. Intenta hacer uso de esa relación.

Una ventaja particular de la regla-sólo las construcciones es la siguiente: Desde líneas rectas permanecer recta, en virtud de las transformaciones, una vez que la construcción de obras con escenas que contienen un círculo, la construcción funciona de la misma manera para un arbitrario cónica.

Answer 5

Aquí hay un par de retos más avanzados. Los procedimientos de construcción no son todos los que complicado, pero se necesita un poco de ingenio para derivar de ellos:

1) Dado el triángulo $ABC $, la construcción de un punto de $P $ tal que $|PA|+|PB|+|PC|$ es mínimo. A veces, este punto es sólo un vértice del triángulo, a veces está en el interior. Usted debe ser capaz de identificar a partir de la construcción cuyo caso se aplica a un triángulo dado.

2) Si usted tiene una esfera disponible para las construcciones y una curva de "la regla" la coincidencia de la curvatura de la esfera, la construcción de un pentágono regular de grandes arcos circulares. Se trata de muy diferentes de las relaciones de los planos de construcción. Al menos en la forma en que yo lo haría, se invoca una curiosa relación entre la regular docecahedron y el cubo.

Divertirse!