Representación de e como una serie descendente

Question

Vi en https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_representations_of_e que $e=3+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{-1}{k!(k-1)k}$. También se mencionó que esta identidad proceden de consideración sobre las formas de poner el límite superior de $e$.

Alguien me puede dar un toque ¿cómo nosotros podemos derivar esta identidad? He intentado mirar su expansión de Taylor pero que enfoque parece fallar miserablemente.

Gracias de antemano.

Answer 1

Se puede derivar la siguiente suma telescópica $k\ge2$:

\begin{align*} \frac{1}{k!}+\frac{1}{k!(k-1)k} &=\frac{1}{k!}\left(1+\frac{1}{(k-1)k}\right)\\ &=\frac{1}{k!}\left(1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)\\ &=\frac{k-1}{kk!}+\frac{1}{(k-1)k!}\\ &=\frac{k-1}{kk!}+\frac{1}{(k-1)k(k-1)!}\\ &=\frac{k-1}{kk!}+\frac{1}{(k-1)(k-1)!}-\frac{1}{k(k-1)!}\\ &=\frac{1}{k!}-\frac{1}{kk!}+\frac{1}{(k-1)(k-1)!}-\frac{1}{k!}\\ &=\frac{1}{(k-1)(k-1)!}-\frac{1}{kk!} \end{align*}

Por lo tanto, si nos remontamos a la representación original de la serie $e$ como lo hizo:

\begin{align*} e+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!k(k-1)} &=2+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!}+\frac{1}{k!k(k-1)}\\ &=2+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(k-1)(k-1)!}-\frac{1}{kk!}\\ &=2+1-\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{nn!}=3 \end{align*}

Answer 2

Como un enfoque alternativo, tenemos $$ 3-e=\int_{0}^{1}x(1-x)e^x\,dx \tag{1}$ $ por el IBP y el RHS de $(1)$ es claramente positiva, por lo tanto, $e<3$.
Desde $\int_{0}^{1}x(1-x)\frac{x^k}{k!}\,dx = \frac{1}{k!(k+2)(k+3)}$ también tenemos %#% $ #% por termwise integración de una serie de Taylor.

Answer 3

Un equivalente integral

La conexión de una relación similar a la utilizada por Jack D'Aurizio, a saber $$\frac{1}{k!(k-1)k}=\int_0^1 \frac{x^{k-2}(1-x)}{k!} dx$$ en esta integral

$$\int_0^1 \frac{(1-x)(e^x-1-x)}{x^2}dx = 3-e$$

con no negativo integrando en $(0,1)$ que demuestre $e<3$, los rendimientos de la serie en cuestión.

$$\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!(k-1)k}=3-e$$

Esto se relaciona con la serie con la desigualdad de $1+x \leq e^x$.

Similares aproximaciones

Esta integral es similar a la utilizada para explicar por qué la $e$ está cerca de la octava número armónico.

$$\frac{1}{14} \int_0^1 x^2(1-x)^2(e^x-1-x)dx = e-\frac{761}{280}=e-H_8\approx 0$$

con la serie correspondiente $$e=\frac{761}{280}+\frac{1}{7}\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!(k+3)(k+4)(k+5)}$$

y $$\frac{1}{2}\int_0^1 (1-x)^2\left(e^x-1-x-\frac{x^2}{2}\right)dx = e-\frac{163}{60}$$

utilizado para explicar la observación de que Lucian $2\pi+e$ está cerca de a $9$.

Otra serie de $3-e$

Sin embargo, otra serie para demostrar $e<3$ está relacionado con la secuencia de enteros http://oeis.org/A165457.

$$\frac{1}{e}=\frac{1}{3}+\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)!(2k+3)}$$