Un problema sobre el conjunto de Cantor y encontrado al aprender sistemas dinámicos.

Question

Consideremos la familia de funciones F(x)= $x^3 -\alpha$ x, para $\alpha \gt 0$

Demostrar que si $\alpha$ es suficientemente grande, entonces el conjunto de puntos | $F^n(x)$ | que no tienden a infinito es un conjunto de Cantor.

Nota: $F^n(x)$ significa la iteración de la función; he demostrado que si | $x$ | es suficientemente grande, entonces | $F^n(x)$ | $\rightarrow\infty$

Sus respuestas serán muy apreciadas.

( Este problema es de < Una introducción a los sistemas dinámicos caóticos > Robert L. Devaney )

Answer 1

Usted está tratando de demostrar que el conjunto de Julia lleno es un conjunto de Cantor. Esto equivale a demostrar que el conjunto de Julia es un conjunto de Cantor. Ahora bien, el conjunto de Julia es un conjunto de Cantor si los puntos críticos no se encuentran en el conjunto de Julia lleno. Así que podemos comprobar que el punto crítico $\frac{\alpha}{3}$ va al infinito bajo la iteración.