¿Por qué el operador de integración no tiene valores propios?

Question

Dejemos que $V$ sea el espacio vectorial de todas las funciones de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ que son continuos. Sea $T$ sea el operador lineal sobre $V$ definido por $$(Tf)(x) = \int_0^x f(t) dt$$ Demostrar que $T$ no tiene valores propios.

Todos los que van a diferenciar en el medio, por favor consideren, que hay funciones que son continuas, pero no son diferenciables en ninguna parte. Ej: la función de Weirstrauss. Por lo tanto, no se puede diferenciar en cualquier lugar en el medio.

Answer 1

En realidad, se puede diferenciar $Tf(x)$ porque la integral de una función continua es diferenciable, y su derivada es la función, es decir FTC .

Ahora bien, si $Tf(x)=af(x)$ y $a\neq0$ entonces cualquier función propia $f(x)$ también es diferenciable, y diferenciando ambos lados se obtiene $f(x)=af'(x)$ . La solución general de esta ecuación es $f(x)=Ce^{x/a}$ pero como $f(0)=\frac1a Tf(0)=0$ debemos tener $C=0$ y por lo tanto $f(x)=0$ .

Queda por considerar el caso $a=0$ pero luego $Tf(x)=0$ y la diferenciación da $f(x)=0$ directamente.

Answer 2

Los únicos vectores propios posibles tendrían que ser de la forma $e^{\lambda x}$ pero como $(Tf)(0)=0$ Ninguno de ellos funciona.