¿Puede un dominio integral estar incrustado en un cociente propio de sí mismo?

Question

¿Existe un dominio integral $R$ que tiene un ideal propio $J$ de modo que existe un homomorfismo de anillo inyectivo $\phi \colon R \to R/J$ ?

En caso afirmativo, ¿cuáles son los supuestos adecuados sobre $R$ para excluir ese comportamiento? Especialmente, si $R$ es un dominio integral noetheriano completo de dimensión finita, ¿puede darse este comportamiento?

Answer 1

Tome el dominio integral $R = k[x_1,x_2,\ldots]$ y que $J = (x_1)$ . Entonces $R/J \cong k[x_2,x_3,\ldots]$ que es isomorfo a $R$ porque tienes infinitas indeterminaciones.

He aquí algunas ideas para su segunda pregunta: Creo que si se echa mano de la suposición de que $R$ es una entidad finitamente generada $k$ -que también es un dominio integral, entonces no hay ningún ideal primo no nulo $\mathfrak{p}$ tal que tenemos una inyección $R \to R/\mathfrak{p}$ . De hecho, si $\mathfrak{p}$ es distinto de cero su altura es al menos uno, por lo que la fórmula $$\operatorname{ht}(\mathfrak{p}) + \dim R/\mathfrak{p} = \dim R$$ dice $\dim R/\mathfrak{p} < \dim R$ y por eso no puedes tener una inyección $R \to R/\mathfrak{p}$ . Para los casos de generación finita $k$ -algebras $R,S$ que son dominios con $R \subseteq S$ tenemos $\dim R \leq \dim S$ como señala el YACP.

Answer 2

EDIT: Los siguientes argumentos son incompletos (y por lo tanto mi respuesta podría ser falsa) - ver los comentarios.

Basta con suponer que $R$ es un dominio integral noetheriano de dimensión finita para excluir este comportamiento. En el libro de Eisenbud (p.219) se puede encontrar el siguiente teorema:

Si $R\subset S$ son anillos noetherianos tales que $S$ es una entidad finitamente generada $R$ -módulo, entonces $\dim R = \dim S$ .

Así que si $R$ es noetheriano, y $\phi$ es como la anterior, entonces $R/J$ es una entidad finitamente generada $\phi(R)$ -que, por tanto, tiene la misma dimensión que $R$ .

Por otro lado, para cualquier ideal $J$ de $R$ uno tiene

\begin{equation} \dim\ R/J + \operatorname{ht}(J) \le \dim R.\end{equation}

Dado que cualquier ideal propio tiene altura mayor/igual que uno (aquí utilizamos el supuesto de dominio), obtenemos la contradicción \begin{equation} \dim R = \dim R/J \le \dim R -1. \end{equation}