En $\sin(t)$ tienen la misma frecuencia que $\sin(\sin(t))$ ?

Question

He trazado $\sin(t)$ y debajo de ella $\sin(\sin(t))$ en mi ordenador y parece que tienen la misma frecuencia. Eso me llevó a preguntarme sobre la siguiente afirmación:

$\sin(t)$ tiene la misma frecuencia que $\sin(\sin(t))$

¿Esta afirmación es verdadera o falsa, y cómo probarla? Muchas gracias

Answer 1

Para cada función $f$ , $f(\sin(t))$ va a ser $2\pi$ -periódico, porque $\sin(t)$ es $2\pi$ -periódico. En cada $2\pi$ -intervalo, $\sin(t)$ es simplemente recorrer los valores $[-1,1]$ Así que $f(\sin(t))$ es simplemente $f$ que se evalúa una y otra vez en el dominio $[-1,1]$ .

Answer 2

$\color{#C00000}{\sin}(x)$ es inyectiva en $[-1,1]$ que es el rango de $\color{#00A000}{\sin}(x)$ . Así, $$ \color{#C00000}{\sin}(\color{#00A000}{\sin}(x))=\color{#C00000}{\sin}(\color{#00A000}{\sin}(y))\Leftrightarrow\color{#00A000}{\sin}(x)=\color{#00A000}{\sin}(y) $$ Por lo tanto, el período de $\color{#C00000}{\sin}(\color{#00A000}{\sin}(t))$ es el mismo que el de $\color{#00A000}{\sin}(t)$ .

Answer 3

En general, es posible expresar funciones trigonométricas de funciones trigonométricas mediante la Jacobi-Anger expansión. En el caso de $\sin(\sin(t))$ tenemos:

$\sin(\sin(t)) = 2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n-1}(1) \sin\left[\left(2n-1\right) t\right]$ ,

donde $J_{2n-1}$ es la función de Bessel del primer tipo de orden $2n-1$ . De esta expansión se desprende que los ceros de $\sin(\sin(t))$ son los mismos que los de $\sin(t)$ ya que cualquier múltiplo par de $\pi$ para el argumento $t$ también conducirá a un múltiplo par de $\pi$ para el $\sin[(2n-1)t]$ término en la expansión.

Como mencionó MrMas, aunque las funciones tienen el mismo periodo, su contenido espectral es diferente. La expansión puede verse como una serie de Fourier para los componentes espectrales de $\sin(\sin(t))$ cuyas amplitudes se rigen por la amplitud del $2n-1$ -función de Bessel. A continuación se muestra un gráfico de $|J_n(1)|$ para $n \in \mathbb R [1, 10]$ :

Para z = 1 en $\sin(z\sin(t))$ Hay muy poco contenido armónico, y en el dominio del tiempo $\sin(\sin(t))$ no parece muy diferente de una onda sinusoidal ordinaria.

Answer 4

En resumen, la respuesta es no si se mira la frecuencia instantánea.

La frecuencia instantánea de una sinusoide es la derivada del argumento. Es decir, la frecuencia de $\sin(f(t))$ es $\frac{d}{dt}f(t)$ . Así, la frecuencia de $\sin(\sin(t))$ es $\frac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t)$ . Por otra parte, la frecuencia de $\sin(t)$ es $\frac{d}{dt}t = 1$ .

Así que tienen el mismo período, pero su contenido espectral es diferente.

Answer 5

También tiene que argumentar que el periodo no es más corto que $2\pi$ para poder concluir que es exactamente dos pi, aunque se deduce más o menos directamente de considerar la gráfica de $\sin(t)$ .