¿Existen sistemas numéricos correspondientes a cardinalidades superiores a los números reales?

Question

Como la mayoría de ustedes saben, el conjunto $\omega$ con cardinalidad $\aleph_0$ corresponde a lo que normalmente conocemos como los números naturales $\mathbb{N}$ y el conjunto $\mathcal{P}(\omega)$ con cardinalidad $\aleph_1$ corresponde a lo que llamamos los números reales $\mathbb{R}$ .

Ahora bien, mi pregunta es si actualmente se conoce algún sistema numérico del que tengamos alguna comprensión aproximada que corresponda a cardinalidades más altas que $\mathbb{R}$ ? Por supuesto, es fácil construir un conjunto con cardinalidad $\aleph_2 > \aleph_1$ tomando de nuevo el juego de poder $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\omega))$ pero ¿podemos saber qué tipo de sistemas pueden tener esta cardinalidad? Y si tal sistema numérico existe, ¿hasta dónde tenemos que llegar en la cadena de cardinalidades antes de tener alguna comprensión?

Answer 1

En primer lugar, permítame aclarar una confusión suya.

$\Bbb R$ tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$ . Esto no es necesariamente $\aleph_1$ . Es coherente con los axiomas de la teoría de conjuntos moderna que la respuesta sea positiva o negativa. Del mismo modo, $2^{2^{\aleph_0}}$ no tiene por qué ser igual a $\aleph_2$ y podría ser mucho mayor.

Ahora que hemos aclarado esa cuestión. ¿Qué es un sistema numérico? Si te refieres a un campo, simplemente algo que tiene una estructura de suma y multiplicación como la que conocemos en $\Bbb Q$ o $\Bbb R$ o así sucesivamente, entonces toma cualquier conjunto $X$ y considerar el anillo de polinomios $\Bbb R[X]$ cuyas variables indeterminadas provienen de $X$ . Entonces $\Bbb R[X]$ es un dominio integral, y por tanto tiene un campo de fracciones, que es a la vez un campo y tiene la cardinalidad de $\max\{|\Bbb R|,|X|\}$ . Escoger un producto adecuado $X$ lo haría.

Si por sistema numérico se entiende algo como los ordinales, que son números (al menos por llamarse "números ordinales"), entonces los ordinales tienen cuatro operaciones naturales, cada una definida a partir de la anterior por inducción transfinita: sucesión, adición, multiplicación y exponenciación.

Además, podemos demostrar que si $\alpha$ y $\beta$ son infinitos ordinales, entonces independientemente de la operación que se utilice sobre $\alpha$ y $\beta$ la cardinalidad del resultado es la máxima entre $\alpha$ y $\beta$ . Esto es maravilloso, ya que significa que no tenemos que buscar muy lejos para encontrar ordinales $\gamma$ con la propiedad de que $\{\alpha\mid\alpha<\gamma\}$ está cerrado en todas las operaciones.

Por ejemplo, todo ordinal infinito que es un ordinal inicial (el menor de una cardinalidad dada) es cerrado bajo todas estas operaciones. Así que $\omega_1$ y $\omega_2$ y $\omega_{\omega_1^\omega\cdot 5+\omega^{42}+1}$ son todos esos ordinales (recordemos que $\omega_\alpha$ denota el $\alpha$ -ésima ordinal inicial). Elija cualquier ordinal cuya cardinalidad sea mayor que la cardinalidad del continuo, y tendrá un ejemplo.

Cabe destacar que la clase propia de todos los ordinales es otro ejemplo de este tipo, ¡y ni siquiera es un conjunto!

En el otro lado de los sistemas numéricos de la teoría de conjuntos tenemos los cardinales, que de nuevo se llaman números cardinales, y que representan el tamaño de un conjunto. También tienen las mismas cuatro operaciones que los ordinales, pero ahora no podemos definirlos entre sí. Decimos que un cardinal $\kappa$ es un cardinal de límite fuerte si siempre que $\lambda<\kappa$ tenemos que $2^\lambda<\kappa$ . Esto implica, entre otras cosas, que si $\kappa$ es un cardinal límite fuerte, entonces podemos demostrar que el conjunto de todos los cardinales por debajo de $\kappa$ (incluyendo los finitos, por supuesto) es cerrado bajo todas las operaciones sobre los cardinales, lo que también hará un sistema numérico.

Y, de nuevo, cabe señalar que la clase de todos los cardinales (lo que Cantor llamó Tav, la última letra del alfabeto hebreo) es un ejemplo similar a la clase de los ordinales. Es un sistema numérico demasiado grande para ser siquiera un conjunto.

Answer 2

El números surrealistas son un campo ordenado demasiado grande incluso para ser un conjunto: forman una clase propia que incluye los ordinales.