Los ángulos diedros de un tetraedro en función de la longitud de sus aristas

Question

Estoy interesado en cualquier referencia que discuta una fórmula general para los ángulos diedros de un tetraedro en términos de sus seis longitudes de aristas. Si existe una fórmula conocida, alguien podría publicarla aquí.

Editar: La solución de abajo funciona en el caso de un tetraedro euclidiano, lo cual agradezco. ¿Alguien conoce otros métodos que se extiendan a dimensiones superiores, es decir, como lo hace el método de Cayley-Menger para calcular volúmenes? También debo mencionar que me interesa el coseno del ángulo diedro, el seno es fácil de encontrar usando la ley del seno generalizada.

Answer 1

Los ángulos diedros de un tetraedro están relacionados con las áreas de las caras y "pseudocaras" del tetraedro de una manera sorprendentemente familiar:

Ley de los cosenos para los tetraedros $$\begin{eqnarray*} W^2 + X^2 - 2 W X \cos \angle BC &= H^2 =& Y^2 + Z^2 - 2 Y Z \cos \angle OA \\ W^2 + Y^2 - 2 W Y \cos \angle CA &= J^2 =& Z^2 + X^2 - 2 Z X \cos \angle OB \\ W^2 + Z^2 - 2 W Z \cos \angle AB &= K^2 =& X^2 + Y^2 - 2 X Y \cos \angle OC \end{eqnarray*}$$

Aquí, $W$ , $X$ , $Y$ y $Z$ son las caras del tetraedro $OABC$ , de tal manera que las caras $W$ y $X$ compartir la ventaja $BC$ ; rostros $Y$ y $Z$ compartir la ventaja $OA$ etc. (Obsérvese la oposición de los bordes: $BC$ es opuesto $OA$ etc.) Naturalmente, " $\angle UV$ "indica el ángulo diedro a lo largo de la arista $UV$ .

$H$ , $J$ y $K$ son (lo que yo llamo) "pseudocaras" del tetraedro. Están relacionadas con las proyecciones del tetraedro en planos paralelos a las aristas opuestas: por ejemplo, $H$ es un cuadrilátero (posiblemente no convexo) cuyas diagonales son las proyecciones de $OA$ y $BC$ en el plano paralelo a esas aristas. (Cuando $H$ es convexo, es la sombra del tetraedro en ese plano).

Para responder a su pregunta...

Utiliza la fórmula de Heron para calcular las áreas $W$ , $X$ , $Y$ y $Z$ a partir de las longitudes de las aristas. Utiliza lo siguiente para calcular $H$ , $J$ y $K$ :

$$\begin{eqnarray*} H^2 = \frac{1}{16}\left( 4 a^2 d^2 - \left(( b^2 + e^2 ) - ( c^2 + f^2 )\right)^2 \right) \\ J^2 = \frac{1}{16}\left( 4 b^2 e^2 - \left(( c^2 + f^2 ) - ( a^2 + d^2 )\right)^2 \right) \\ K^2 = \frac{1}{16}\left( 4 c^2 f^2 - \left(( a^2 + d^2 ) - ( b^2 + e^2 )\right)^2 \right) \end{eqnarray*}$$

donde $$a := |OA| \qquad b := |OB| \qquad c := |OC| \qquad d := |BC| \qquad e := |CA| \qquad f := |AB|$$

A continuación, utilice $W$ , $X$ y $H$ para calcular $\angle BC$ a través de la Ley de los Cosenos, al igual que utilizarías la Ley de los Cosenos para los Triángulos; igualmente, los otros ángulos diedros.

BTW: Yo llamo a lo anterior " A Ley de los Cosenos para los Tetraedros", porque hay otra ...

$$W^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 - 2 Y Z \cos \angle OA - 2 Z X \cos \angle OB - 2 X Y \cos \angle OC$$

... y en el espacio no euclidiano, hay aún más. Para obtener información sobre estas cosas, véase mi "Página "Hedronometría . (Me gusta pensar que el nivel de erudición mejora con el tiempo. :)

Answer 2

No se trata de una fórmula, sino de una forma de calcular el ángulo utilizando muchas etapas intermedias. Tal vez más tarde alguien puede seguir los pasos y reducirlo en una sola fórmula, sólo que no logré eso todavía.

Supongamos que los vértices del tetraedro ( https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron ) se denominan $ A, B, E $ y $F$ donde $EF$ es la arista del ángulo diedro y el ángulo a calcular es el ángulo entre las caras $\triangle AEF$ y $\triangle BEF$ .

El método completo consta de 4 pasos:

• 1a algunas construcciones y cálculos sobre el triángulo $AEF$
• 1b algunas construcciones y cálculos sobre el triángulo $BEF$
• 2 algunos cálculos sobre el triángulo $ABC$
• 3 algunos cálculos sobre el triángulo $AGC$

1a algunas construcciones y cálculos sobre $\triangle AEF$

• sea G la base de la altitud ( https://en.wikipedia.org/wiki/Altitude_%28triangle%29 ) desde el punto de $A$ (así $G$ está en $EF$ )

• utilizar la fórmula de Heron ( https://en.wikipedia.org/wiki/Heron 's_formula ) para calcular el área $O_A$ del triángulo $AEF$ $O_A = \sqrt{s_A(s_A-AE)(s_A-AF)(s_A-EF)}$ ,

donde $s_A = \frac{1}{2}(AE +AF +AE) $

• calcular $AG = \frac{O_A}{EF}$

• calcular $EG = \sqrt {AE^2-AG^2}$

1b algunas construcciones y cálculos sobre $\triangle BEF$

• dejar $H$ sea la base de la altitud desde el punto de $B$ (así $H$ está en $EF$ )

• dejar $C$ sea el último punto para construir el rectángulo $BHGC$

así que $BH$ = $CF$ y $HG$ = $BC$

• utilizar la fórmula de Heron para calcular el área $O_B$

$O_B = \sqrt{s_B(s_B-BE)(s_B-BF)(s_B-EF)}$ ,

donde $s_B = \frac{1}{2}(BE +BF +BE) $

• calcular $ CG = BH = \frac{O_B}{EF}$

• calcular $ EH = \sqrt {BE^2-BH^2}$

• calcular $ BC= GH = |EH-EG| $

2 algunos cálculos sobre $\triangle ABC$

Ahora podemos construir el triángulo $ABC$

El ángulo $\angle ACB $ está bien así que

$ AC = \sqrt {AB^2-AC^2}$

3 finalmente $\triangle AGC$

ángulo $AGC$ es un ángulo plano que buscamos

utilizando la ley del coseno ( https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines )

podemos calcular

$ \angle AGC = \arccos( \frac {AG^2+CG^2-AC^2}{AG \times CG} ) $

Y hemos terminado

Pensaba fijarlo todo junto en una bonita fórmula única, pero aún no he podido hacerlo.

tal vez puedas probarlo tú mismo (si lo consigues añádelo como otra respuesta)