Si R y S son anillos entonces $R \times S$ no es un campo

Question

Esta pregunta es del libro "Álgebra Abstracta" por Dummit y Foote.(Ejercicio: 7.6.4):

Problema: Demostrar que si $R$ $S$ son cualquiera de los dos no-cero anillos, a continuación, $R \times S$ no es nunca un campo.

Mi problema con esta pregunta es que no se siente bien. Si $R$ $S$ son anillos, a continuación, $R \times S$ también es así. (La adición y la multiplicación por $R \times S$ se define como $(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2)$ $(r_1,s_1)(r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2)$ respectivamente, donde $(r_1,s_1),(r_2,s_2) \in R \times S$.) Para demostrar que $R \times S$ es un campo reduce para demostrar la conmutatividad de la multiplicación, de la existencia de multiplicativo de la identidad y de la existencia de inverso multiplicativo de cada elemento de la misma. Ahora, si los dos anillos son campos de sí mismos, entonces la multiplicación es conmutativa, el identy es $(1_R,1_S)$ e inverso de un elemento $(r,s)$$(r^{-1},s^{-1})$. Por lo $R \times S$ es también un campo. Estoy en lo cierto? Por favor, ayudar.

Actualización: La pregunta viene de una sección sobre el Teorema del Resto Chino. Es posible demostrar que este hecho utilizando el Teorema del Resto Chino?

Answer 1

Sugerencia: ¿Cuál es el inverso del $(1,0)$?

Answer 2

Desde $R$ es distinto de cero, existe un $r\in R$, $r\neq 0$. Desde $S$ es distinto de cero, existe $s\in S$, $s\neq 0$.

Desde $r\neq 0$, $(r,0_S)\in R\times S$ no es cero; y desde $s\neq 0$, $(0_R,s)\in R\times S$ no es cero.

¿Cuál es el producto de $(r,0_S)$$(0_R,s)$?

Puede que pasaría si un valor distinto de cero elementos son rescindibles?

Son cero elementos cancelables en una división del anillo?

(Esto muestra un poco más fuerte declaración: un producto directo de la trivial anillos siempre tiene divisores de cero.)

Alternativamente. Demostrar que $R\times\{0\}$ es un buen ideal de $R\times S$ (aquí puedes usar ese $R\neq 0$$S\neq 0$). A continuación, recuerde que los campos son simples.

Answer 3

Vamos a demostrar que $R\times S$, no es un campo si $R$ $S$ son cualquiera de los dos no-cero anillos. Los siguientes pasos conducen a una solución:

(1) tenga en cuenta que $(1_R,0_S)\in R\times S$ donde $1_R$ es la identidad multiplicativa de $R$ $0_S$ es la identidad aditiva de $S$.

(2) Si $T$ es un anillo, si $0_T$ es la identidad aditiva de $T$, y si $t\in T$, demuestran que, a $t0_T=0_T=0_Tt$. (Sugerencia: use la ley distributiva y escribir $0_T=0_T+0_T$.)

(3) Demostrar que $(1_R,1_S)$ es la identidad multiplicativa de $R\times S$ donde $1_R$ $1_S$ son la multiplicación de las identidades de $R$$S$, respectivamente.

(4) Si $(r,s)\in R\times S$, demuestran que, a $(r,s)\cdot (1_R,0_S)=(r,0)$.

(5) Finalmente, demostrar que no existe $(r,s)\in R\times S$ tal que $(r,s)\cdot (1_R,0_S)=(1_R,1_S)$. Deducir que el elemento $(1_R,0_S)\in R\times S$ no tiene inverso multiplicativo. (Sugerencia: observe cuidadosamente donde se utiliza el hecho de que $R$ $S$ son no-cero anillos.)

Espero que esto ayude!

Answer 4

SUGERENCIA $\ $ Factorizations corresponden a idempotents. No trivial de producto anillos contienen idempotents $\rm\:e = e^2\:$ que son triviales $\rm\: e\ne 0,1\:,\:$ por ejemplo $\rm\ e = (0,1)\in R\times S\:.\:$ Sino un campo o dominio tiene sólo trivial idempotents desde $\rm\ e\: (1-e) = 0\ \Rightarrow\ e = 0,1\:.\:$ Nota de que el trivial idempotente $(0,1)$ puede ser visto como construido por diagonalizing del juego de trivial idempotents $(0,0),\: (1,1)\:.$

Por el contrario, un trivial idempotente $\rm\:e\:$ de los rendimientos de un trivial de la factorización de la $\rm\:R \cong e\:R \times (1-e)\:R\:$ (la descomposición de Peirce). Esta descomposición se extiende a cualquier conjunto finito de idempotents con suma $1$ y mutuamente ortogonales $\rm\:e_i\ e_j = 0\ \ if\ \ i\ne j\:.$ Por ejemplo, los Chinos Teorema del Resto puede ser visto de esta manera.