Integral de $\cos(\sqrt{x^3})$

Question

¿Como el título lo explica, parece que no puedo llegar a ninguna parte en este caso, por lo que alguien podría mostrarme cómo yo procedería resolver esto?

$$\int\cos\left(\sqrt{x^3}\right)\,dx$$

Yo no puedo encogimiento de hombros de la sensación de que voy a terminar para arriba en algún lugar en el complejo Reino.

Answer 1

Otra forma de solución es expresar el integrando en una serie de energía e integrar término por término.

$$ \cos(\sqrt{x^3}) = 1 - \frac{x^3}{2!} + \frac{x^6}{4!} - \frac{x^9}{6!} +\ldots, \quad x \ge 0.$$

Porque esta serie de potencias es convergente para todos los $x \ge 0$, la serie de encendido de la integral resultante es convergente para todos los $x\ge0$. Por lo tanto,

$$\begin{align} \int \cos(\sqrt{x^3})\,dx &= x - \frac{x^4}{2!4} + \frac{x^7}{4!7} - \frac{x^{10}}{6!10} +\ldots \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{3n+1}}{(2n)!(3n+1)}, \quad x >= 0. \end {Alinee el} $$

Answer 2

Empezar con $$ \cos x = \frac{1}{2} \left( e^{ix} + e^{-ix} \right). $$

De Mathematica: $$ \int \cos \left(\sqrt{x^3}\right) \, dx = -\frac{x\, \Gamma \left(\frac{2}{3}-\sqrt{x^3}\right)}{3 \left(-i \sqrt{x^3}\right)^{2/3}}-\frac{x\, \Gamma \left(\frac{2}{3},i \sqrt{x^3}\right)}{3 \left(i \sqrt{x^3}\right)^{2/3}} = -\frac{1}{3} x \left(E_{\frac{1}{3}}\left(-i \sqrt{x^3}\right)+E_{\frac{1}{3}}\left(i \sqrt{x^3}\right)\right) $$ donde $$ E_n (z) = \int_{1}^{\infty}e^{-zt}t^{-n}dt, \quad \Gamma (a, z) = \int_{z}^{\infty}e^{-t}t^{- 1}dt $$ No hay solución analítica es términos de funciones más básicas.

Un vistazo rápido a la función de $\cos \sqrt{x^{3}}$.

Answer 3

Esta integral no tiene derivado de la primaria

Considere el integral

$$F(y) = \int^y_0\cos\left(\sqrt{x^3}\right)\,dx$$

Que implica dejar que $x^{3/2} =t$ $x = t^{2/3}$

$$F(y) = \frac{2}{3}\int^{y^{3/2}}_0t^{\frac{2}{3}-1}\cos\left(t\right)\,dt$$

Integral integral de Böhmer (Fresnel generalizada) se define como

$$C(x,\alpha) = \int^{\infty}_xt^{\alpha-1}\cos\left(t\right)\,dt$$

Esto implica

$$F(y) =\frac{2}{3}\left[\frac{\Gamma(2/3)}{2}-C\left(y^{3/2},\frac{2}{3}\right)\right] $$