Prueba por inducción: $(1+x)^n > 1 + nx+nx^2$

Question

Este es uno de los ejercicios que aparecen en el Cálculo I de Apostol.

7. Dejemos que $n_1$ sea el menor número entero positivo $n$ para la cual la desigualdad $(1+x)^n > 1 + nx+nx^2$ es cierto para todos los $x > 0$ . Calcula $n_1$ y demostrar que la desigualdad es verdadera para todos los enteros $n \geq n_1$ .

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Lo primero que supuse fue que el primer número para el que se cumple la desigualdad era $x=1$ . Entonces:

$$2^n > 2n + 1$$

Después de un poco de inspección, uno puede notar que la desigualdad es verdadera para todos los enteros positivos $n \geq 3$ . Así que $n_1 = 3$ .

Prueba (por inducción):

$$P(n): (1+x)^n > 1 + nx+nx^2\qquad \text{for all}\ n \geq 3$$

Caso base: $P(3)$

$$(1+x)^3 > 1 + 3x+3x^2$$ $$x^3+3x^2+3x+1 > 3x^2+3x+1$$

lo cual es cierto.

Hipótesis inductiva: Supongamos que $P(k)$ es verdadera para un número entero positivo $k\geq 3$ :

$$(1+x)^k > 1 + kx + kx^2\qquad (1)$$

Paso inductivo: Prueba $P(k+1)$ :

$$(1+x)^{k+1} > \underbrace{1 + (k+1)x + (k+1)x^2}_\text{a}$$

Si multiplicamos la desigualdad $(1)$ por $(1+x)$ nos encontramos con que:

$$(1+x)^{k+1} > (1+x)[1 + kx + kx^2]$$

$$(1+x)^{k+1} > \underbrace{kx^3+2kx^2+kx+x+1}_\text{b}$$

Desde $a<b$ y $b < (1+x)^{k+1}$ por transitividad tenemos que $a < (1+x)^{k+1}$ y por lo tanto $P(n)$ es verdadera como se afirma.

¿Es correcto asumir que mi primer número es $x=1$ aunque el problema dice que es cierto para todos $x >0$ ?

Answer 1

Otro enfoque

A partir de la hipótesis de inducción, tenemos

$$(1+x)^k > 1+kx+kx^2.$$

En el paso de inducción, observe

$$1+(k+1)x+(k+1)x^2 = 1+kx+kx^2+x(1+x)$$

Ahora, utilizando la hipótesis de inducción y añadiendo $x(1+x)$ a ambas partes:

$$(1+x)^k +x(1+x) > 1+kx+kx^2 + x(1+x).$$

Tenga en cuenta que $x(1+x)^k > x(1+x)$ y también hay que tener en cuenta que $$(1+x)^{k+1} = (1+x)^k(1+x) = (1+x)^k+x(1+x)^k.$$ Finalmente,

$$\begin{align*} (1+x)^{k+1} &= (1+x)^k+x(1+x)^k \\ &> (1+x)^k+x(1+x) \\ &> 1+kx+kx^2+x(1+x) \\ &= 1+(k+1)x+(k+1)x^2. \end{align*}$$

Answer 2

Si utilizamos la expansión binomial de $(1+x)^n$ nos encontramos con que: $$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+...\tag{1}$$ Para que esta expresión sea mayor entonces $1+nx+nx^2$ que debemos satisfacer: $$\frac{n(n-1)}{2}\ge n$$ A partir de la cual deberías ser capaz de calcular el mínimo $n$