Supongamos que $\lim \sup_{n \to \infty}a_n \le \rho$. Mostrar $\lim \sup_{n \to \infty} a_n^{{(n-m)}/{n}} \le \rho$.

Question

Supongamos que $\{a_n\}$ es una secuencia de números positivos con $\lim \sup_{n \to \infty} a_n\le \rho$. Espectáculo $\lim \sup_{n \to \infty} a_n^{{(n-m)}/{n}} \le \rho$ donde $m \in \Bbb N$.

Yo estaba pensando en hacer algo a lo largo de las líneas de

$\lim \sup_{n \to \infty} a_n^{{(n-m)}/{n}}=\lim \sup_{n \to \infty}a_n (a_n^{-m})^{\frac {1}n}$

Luego resulta que $(a_n^{-m})^{\frac {1}n}$ $1$ como se toma el límite de supremum. Por favor, hágamelo saber si estoy completamente fuera de la base con esta lógica.

EDITAR:

$$(a_n^{-m})^{\frac {1}n} = \frac 1 {\underbrace{a_n^{1/n} \cdots a_n^{1/n}}_{m \text{ times}}}$$

Debido a $a_n^{1/n}$ converge a 1, $\lim_{n \to \infty} a_n^{1/n} = \lim \sup_{n \to \infty} a_n^{1/n}=1$. Por lo tanto, $\lim \sup_{n \to \infty} a_n^{{(n-m)}/{n}}=\lim \sup_{n \to \infty} a_n\le \rho $.

Es esto correcto? Si no, ¿de dónde me lío? Si es así, esta no es la solución más elegante, es la que hay uno mejor?

Answer 1

El problema es que $(a^{-m}_n)^{\frac 1n}$ no podría delimitarse aún. Un ejemplo es que $a_n = \frac{1}{n^{\frac{n}{m}}}$. En este caso tenemos $(a^{-m}_n)^{\frac 1n} = n$. Esta observación sugiere que uno no debería romper el término en dos.

De hecho, la afirmación se puede demostrar directamente. Que $\epsilon >0$. Entonces hay $N_1 \in \mathbb N$ para que

$$ a_n < \rho +\epsilon$$

cuando $n\ge N_1$. Entonces

$$ a_n^{\frac{n-m}{n}} <\left(\rho +\epsilon \right)^{\frac{n-m}{n}}. $$

cuando $n\ge N_1$. Esto implica

$$\limsup_{n\to \infty} a_n^{\frac{n-m}{n}} \le \limsup_{n\to \infty}\left(\rho +\epsilon \right)^{\frac{n-m}{n}} = \rho +\epsilon$$

(por supuesto que ese $x\mapsto (\rho+\epsilon)^x$ es continua cuando $\rho+ \epsilon >0$). $\epsilon >0$ Es arbitrario, tenemos

$$\limsup_{n\to \infty} a_n^{\frac{n-m}{n}} \le \rho. $$