¿Cómo funciona la ley de trabajo de reciprocidad cuadrática?

Question

En el libro,
Supongamos $p \equiv 1 \pmod{4}$, entonces por la ley de la reciprocidad cuadrática, tenemos: $$\left(\frac{3}{p}\right) = \left(\frac{p}{3}\right) $$ A continuación, si $p \equiv 2 \pmod{3}$, $p \equiv 5 \pmod{12}$ Por lo tanto, $$\left(\frac{3}{p}\right) = \left(\frac{p}{3}\right) = -1$$

¿Cómo lograr que los Legendre fracción equivalente a $-1$? Desde mi entender: $$\left(\frac{q}{p}\right) \cdot \left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$$ Por lo $q = 3 \implies \frac{q-1}{2} = \frac{3-1}{2} = 1$ Para $p$, aprovecho $p \equiv 5 \pmod{12} \implies p = 5 + 12k$, para algunos enteros de k.
Por lo tanto, $\frac{p-1}{2} = \frac{12k + 5 - 1}{2} = \frac{12k + 4}{2} = 6k + 2.$ Y esto $6k + 2$ incluso :( ! ¿Cómo se $(-1)^{even} = -1$?
Alguna idea? Creo que he cometido algunos errores de lógica en algún lugar, pero no pude encontrar donde.

Actualización
El problema era de la escuela Elemental a la Teoría de números y Su Aplicación - Kenneth H. Rosen 5ª Edición.

Problema
Usando la ley de la reciprocidad cuadrática, muestran que si $p$ es un extraño primo, entonces $$\left(\frac{3}{p}\right) = 1 \text{ if } p \equiv \pm 1 \pmod{12}$$ $$\left(\frac{3}{p}\right) = -1 \text{ if } p \equiv \pm 5 \pmod{12}$$

Solución Gracias,

Ahora estoy más confundido :(!
Considerar dos casos:
Caso 1 $$p \equiv 1 \pmod{4} \text{ and } p \equiv 1 \pmod{3}$$ A continuación,
$$p \equiv 1 \pmod{12} \implies p = 12k + 1$$
Por lo tanto,
$$\frac{p - 1}{2} \cdot \frac{3 - 1}{2} = \frac{12k}{2} = 6k = \text{ even }$$
Lo que implica
$$\left(\frac{3}{p}\right) \cdot \left(\frac{p}{3}\right) = 1$$
Por lo tanto debe ser $1$ o $-1$.

Caso 2 $$p \equiv 1 \pmod{4} \text{ and } p \equiv 2 \pmod{3}$$ A continuación,
$$p \equiv 5 \pmod{12} \implies p = 12k + 5$$
Por lo tanto,
$$\frac{p - 1}{2} \cdot \frac{3 - 1}{2} = \frac{12k + 4}{2} = 6k + 2 = 2(3k + 1) = \text{ even }$$ Lo que implica
$$\left(\frac{3}{p}\right) \cdot \left(\frac{p}{3}\right) = 1$$ Por lo tanto debe ser $1$ o $-1$.

No veo cómo estos argumentos pueden ser deducidas a la solución. Alguna sugerencia?

Answer 1

Creo que usted puede encontrar el valor de $(3|p)$ sin encontrar $p\equiv 5\pmod{12}$, por el uso del segundo suplemento a la reciprocidad cuadrática. Recuerda $$ \left (\frac {2} {p} \right) =(-1) ^ {(p^2-1)/8}. $$ Desde $p\equiv 2\pmod{3}$, entonces usted tiene $(p|3)=(2|3)=-1$. Así que en conjunto, $$ \left(\frac{3}{p}\right)\left(\frac{p}{3}\right)=\left(\frac{3}{p}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{3}{p}\right)(-1)=(-1)^{(p-1)(3-1)/4} =(-1) ^ {(p-1)/2} = 1 $$ Esto implica $(3|p)=-1$.

Answer 2

Si $p\equiv 2 \mod 3$ $p$ no es un cuadrado mod $3$. Esa es la justificación para la segunda línea.

Como se calculan correctamente, si $p$ $5 \mod 12$ (e $q$ es impar), a continuación,$(-1)^{\frac {p-1}{2} \cdot \frac {q-1}{2}}$$(-1)^{\text{even}} = 1$.

Usted tiene una declaración incorrecta de la caja principal de la reciprocidad cuadrática, para $p$ $q$ impares, números primos. En lugar de un signo de igualdad entre el $(\frac p q)$ $(\frac q p)$ no debe haber ningún símbolo, o quizás $\times$. El producto $(\frac p q) (\frac q p)$ es igual a $(-1)^{\frac {p-1}{2} \cdot \frac {q-1}{2}}$, es decir, el producto es$1$, excepto cuando se $p$ $q$ ambos $3 \mod 4$, caso en el cual se $-1$.

Answer 3

Personalmente creo que un gran paso en cosas de comprensión es saber motivación el teorema. Douglas y yunone han ambos probablemente explicó el significado detrás de esas ecuaciones bastante bien, pero echa un vistazo a este artículo de Wikipedia para el contexto histórico más: http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_reciprocity#History_and_alternative_statements

Answer 4

Si $\rm\:q\:$ y $\rm\:p = 4\:k+1\:$ son números primos impares distintos entonces por la ley de reciprocidad cuadrática tenemos

$\displaystyle\rm\quad\quad\quad\quad\ \ \frac{p-1}{2}\ =\ 2\:k\ \ \Rightarrow\ \ \left(\frac{q}{p}\right)\ \times\ \left(\frac{p}{q}\right)\ =\ (-1)^{\frac{p-1}{2}\ \frac{q-1}{2}}\: =\ 1$

Por lo tanto deducimos que $\rm\displaystyle\ \ \left(\frac{q}{p}\right)\ =\ \left(\frac{p}{q}\right)$

Así $\displaystyle\rm\ q=3,\ p = 2+3\:n\ \Rightarrow\ \left(\frac{3}{p}\right)\ =\ \left(\frac{2+3\:n}{3}\right)\ =\ \left(\frac{2}{3}\right)\ =\:-1\ $ $\rm\:2\:$ no es una plaza $\rm\:(mod\ 3)\:.$