¿por qué es $\sqrt{-1} = i$ y no $\pm i$?

Question

Esto es algo que surgió cuando se trabaja con uno de mis estudiantes hoy y ha sido me molestando desde. Es más una pregunta de matemáticas que una cuestión pedagógica así que pido aquí en vez de MESE.

¿Por qué es $\sqrt{-1} = i$ y no $\sqrt{-1}=\pm i$?

Con números positivos la función raíz cuadrada siempre devuelve tanto un número positivo y negativo, es diferente para los números negativos?

Answer 1

La raíz cuadrada de la función no devuelve dos valores para los números positivos, o no sería una función.

Es un hecho que, si $x$ es un número real positivo, hay dos números reales cuyo cuadrado es $x$. La positiva es que se denota por a $\sqrt{x}$, por lo que el resultado negativo se $-\sqrt{x}$.

De esta manera, la función tiene la propiedad agradable que, por $x,y>0$, $\sqrt{xy\mathstrut}=\sqrt{x\mathstrut}\sqrt{y\mathstrut}$.

En los números complejos, para cada valor distinto de cero $x\in\mathbb{C}$ hay dos complejos de números cuyo cuadrado es $x$. Sin embargo, no es posible definir una función de raíz cuadrada con la propiedad de arriba, que es, $\sqrt{xy\mathstrut}=\sqrt{x\mathstrut}\sqrt{y\mathstrut}$.

Tal vez a usted le quiere estirar la noción de función, para permitir varios valores; pero entonces, ¿cómo muchos de los valores que debe asignar a la expresión $$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ y otros similares? No se podía hacer más evidente simplificaciones: a partir de $$x+\sqrt{2}=\sqrt{2}$$ te gustaría obtener tres valores de $x$.

Cuando introduzco los números complejos, yo nunca uso $\sqrt{-1}$,, sino me dicen que $i^2=-1$, que es muy diferente de la declaración, exactamente porque es imposible definir una función de raíz cuadrada que tiene sensato propiedades algebraicas.

Answer 2

Si $x$ es un no número real negativo, hay una clara interpretación de la expresión $\sqrt{x}$, es decir, la no-negativo de la raíz cuadrada de $x$. (El $\pm$ señales no son "parte de la función de raíz cuadrada", que es por qué tienen que ser incluidos de forma explícita cuando "la solución de una ecuación tomando raíces cuadradas", por ejemplo, pasando de $x^{2} = 1$$x = \pm 1$.)

Cuando uno intenta extender la función de raíz cuadrada de los números complejos, no son difíciles de dominio de los temas. En lugar de escribir "$\sqrt{-1} = \pm i$" (que no puede ser cierto si el radical símbolo denota una función), es más seguro quedarse con $(\pm i)^{2} = -1$ (que es rotundamente cierto) hasta que se invirtió en la comprensión de los puntos finos de funciones de una variable compleja.

En caso de que usted o su estudiante la curiosidad: Cada uno distinto de cero número complejo tiene dos raíces cuadradas, pero no es continua elección de la raíz cuadrada en el plano complejo.

Para conseguir una continua "rama de la raíz cuadrada" es necesario quitar suficiente de que el avión que "el dominio de la raíz cuadrada no rodean el origen". La costumbre opción es para eliminar la no-positivos reales. (Irónicamente, esto excluye explícitamente $-1$ desde el dominio de la raíz cuadrada.)

Una alternativa común opción es para eliminar la no-positivo del eje imaginario. En este evento, $\sqrt{-1} = i$ para el continuo de la rama de la raíz cuadrada que satisface $\sqrt{1} = 1$.

La toma de distancia de los puntos son:

• Si $\sqrt{\ }$ denota una función, entonces debe ser de un solo valor (no $\pm$).

• Cuando se permite que los números complejos (otros que no negativos reales) bajo un signo radical, Usted Realmente Necesita tener Cuidado.

Answer 3

Esta pregunta puede ser abordada desde uno de los dos ángulos. Vamos a hacer de una en una.

1. Puede $\sqrt{-1}$ ambos $i$$-i$?

La respuesta está en el hecho de que sí. La gente se dio cuenta de pronto de que algunas de las funciones pueden tomar cualquiera de un número de valores. Esto es cierto ya que en el sistema numérico real con la raíz cuadrada, pero por lo general se comporta bien funciona como el logaritmo también se convierten en "multi-valor" cuando se extiende a tomar como datos de entrada los números complejos. La solución es cambiar el dominio de la función, lo que significa que la raíz cuadrada de la toma de entrada de "dos ejemplares de los números complejos cosidos juntos", algo que se llama una superficie de Riemann.

2. Se $\sqrt{-1}=i$$\sqrt{-1}=-i$, en cierto sentido, "el mismo"?

De nuevo, la respuesta es sí. Como Meelo señaló en su respuesta, tanto en $i$ $-i$ son soluciones de la ecuación polinómica $x^2+1=0$. Sin embargo, son equivalentes soluciones, en el sentido de que intercambiarlos genera una simetría del plano complejo. Esta simetría se describe moviendo el avión sobre el eje real, también conocido como complejo de conjugación. Este es el punto de partida de la teoría de Galois.

Answer 4

Bueno, si usted está considerando la posibilidad de que $y=\sqrt{x}$ es la relación $y^2=x$, entonces, sí, $\pm i$ son ambas soluciones a $\sqrt{-1}$. Sin embargo, esto normalmente no es cómo las raíces cuadradas de los definidos. Normalmente decimos: $$\sqrt{1}=1$$ No más o menos $1$ - sólo $1$. Esto significa que $\sqrt{x}$ es un "derecho inversa" de $x^2$ - esto es, tenemos que $$\left(\sqrt{x}\right)^2=x$$ pero no necesariamente que $$\sqrt{(x^2)}=x.$$ La diferencia aquí es que, para hacer $\sqrt{x}$ una función, la necesitamos para producir únicos valores de salida -, por lo que elegir un director de la raíz. Podemos definir generalmente que cada vez que tomamos la raíz cuadrada de un número positivo, se obtiene un número positivo. Y la definición de $\sqrt{-1}=i$ es igual de inocuo, ya que si lo definimos como $\sqrt{-1}=-i$, sólo podríamos etiquetar cada número por su complejo conjugado, y regresar a nuestro típico de la definición (es decir, $\sqrt{-1}=i$ más define a $i$ de lo que define a $\sqrt{-1}$). Así que, a pesar de que la ecuación de $x^2+1$ tiene dos soluciones (como lo hace cualquier ecuación de $x^2-c$ complejas $c\neq 0$), para el bien de hacer raíces cuadradas actuar como una función, debemos elegir uno de ellos para ser la raíz cuadrada de $-1$, y llamamos a este número $i$.

Answer 5

Para ser honesto, me gustaría que se abstengan de decir que $$\sqrt{-1} = i$$ No se aun como los números reales, donde uno puede estar de acuerdo que la raíz cuadrada de la función toma valores positivos, porque lo que es positivo, en el plano complejo? Incluso si usted hizo establecer la identidad de la convención, ¿cómo podría usted ampliar la convención cuando se trata con: $$\sqrt[\Large 3]{1}$$ por ejemplo?

Si usted necesita para definir la unidad imaginaria, la mejor opción es decir que $i$ es tal que $$i^2 = -1$$

Incluso hay "mejores" decisiones, pero no parece que vas a necesitar.