Encuentra los valores de los enteros positivos $n$ tal que: $\frac{(-\sqrt{3}+2)^{n+1}+(\sqrt{3}+2)^{n+1}}{4n+3}$ es un número entero positivo

Question

Mi pregunta es la siguiente:

Encuentra los valores de los enteros positivos $n$ tal que:

$$\frac{(-\sqrt{3}+2)^{n+1}+(\sqrt{3}+2)^{n+1}}{4n+3}$$ es un número entero positivo.

Puedo ver que para $n=1$ (entre otros números) se verifica la condición. Sin embargo, no puedo ir más allá con este procedimiento.

Answer 1

Por cierto, he cambiado el problema; no sé si ayuda. Es un poco grande para que quepa en un comentario.
El numerador es $$2\sum_k{n+1\choose2k}2^{n+1-2k}3^k$$
Multiplica cada término por $(4n+4)^k=1\pmod{4n+3}$ y obtener $$2^{n+2}\sum_k{n+1\choose2k}(3n+3)^k\\=2^{n+2}\sum_k{n+1\choose2k}(-n)^k\pmod{4n+3}\\ =2^{n+2}\Re(1+i\sqrt{n})^{n+1}$$