En el grupo Factor $\Bbb Q/\Bbb Z$

Question

Posible duplicado:
$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ tiene un único subgrupo de orden $n$ para cualquier número entero positivo $n$ ?

Tengo el grupo de factores $\Bbb Q/\Bbb Z$ , donde $\Bbb Q$ es un grupo de números racionales y $\Bbb Z$ es un grupo de enteros (la operación en ambos es la suma).

Es necesario demostrar que para cada número natural $n$ existe uno y sólo un subgrupo de $\Bbb Q/\Bbb Z$ con un orden igual a $n$ .

He demostrado que dicho grupo existe (el grupo cíclico se ajusta a esta condición), pero no tengo casi idea de cómo demostrar su unicidad.

Answer 1

Recordemos que todo subgrupo finitamente generado de $\mathbb{Q}$ es cíclico; por lo tanto, el cociente $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ tiene la misma propiedad. Así, un subgrupo de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ de orden $n$ debe ser cíclico, generado por algún elemento $\frac{a}{b}+\mathbb{Z}$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\gcd(a,b)=1$ y $0\leq a\lt b$ .

Ya que es de orden $n$ , lo que significa que $\frac{na}{b}+\mathbb{Z} = 0+\mathbb{Z}$ , lo que a su vez significa que $\frac{na}{b}\in\mathbb{Z}$ . Desde $\gcd(a,b)=1$ entonces $b|n$ . Pero como el orden es exactamente $n$ para cualquier $k$ , $1\leq k\lt n$ tenemos $\frac{ka}{b}\notin \mathbb{Z}$ Así que $b$ no divide $k$ .

Eso es: $b|n$ pero $b$ no divide ningún número positivo menor que $n$ . Esto significa que $b=n$ .

Así que un subgrupo de orden $n$ es generado por un elemento de la forma $\frac{a}{n}+\mathbb{Z}$ con $1\leq a\lt n$ , $\gcd(a,n)=1$ .

Desde $\gcd(a,n)=1$ existe $x,y\in\mathbb{Z}$ tal que $ax+ny=1$ . Por lo tanto, $\frac{1}{n} = \frac{ax+ny}{n} = \frac{ax}{n}+y$ . Así, $\frac{1}{n}+\mathbb{Z} \in \langle \frac{a}{n}+\mathbb{Z}\rangle$ ; ya que $\frac{a}{n}+\mathbb{Z}\in\langle\frac{1}{n}+\mathbb{Z}\rangle$ los dos subgrupos son iguales. Así que el único subgrupo de orden $n$ es $\langle \frac{1}{n}+\mathbb{Z}\rangle$ .

Answer 2

Pista: Un generador será de la forma m/n, donde m es un número entero relativamente primo de n. Demuestre que todos esos generadores generan realmente el mismo grupo.

Answer 3

Sugerencia $\rm\ \ (a,b) = 1\: \Rightarrow\ \left<\dfrac{a}b\right>\equiv \left<\dfrac{1}b\right>\:\ (mod\ \mathbb Z)\:$ por $\rm\:b^{-1}\:\! (j\:a + k\: b = 1)\ $ por Bezout.

Nota: $\ $ Esta reducción de fracciones de Bezout $\rm\:\! (mod\ 1)\:\!$ a menudo resulta útil, por ejemplo ver aquí.