Recordemos que todo subgrupo finitamente generado de $\mathbb{Q}$ es cíclico; por lo tanto, el cociente $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ tiene la misma propiedad. Así, un subgrupo de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ de orden $n$ debe ser cíclico, generado por algún elemento $\frac{a}{b}+\mathbb{Z}$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\gcd(a,b)=1$ y $0\leq a\lt b$ .
Ya que es de orden $n$ , lo que significa que $\frac{na}{b}+\mathbb{Z} = 0+\mathbb{Z}$ , lo que a su vez significa que $\frac{na}{b}\in\mathbb{Z}$ . Desde $\gcd(a,b)=1$ entonces $b|n$ . Pero como el orden es exactamente $n$ para cualquier $k$ , $1\leq k\lt n$ tenemos $\frac{ka}{b}\notin \mathbb{Z}$ Así que $b$ no divide $k$ .
Eso es: $b|n$ pero $b$ no divide ningún número positivo menor que $n$ . Esto significa que $b=n$ .
Así que un subgrupo de orden $n$ es generado por un elemento de la forma $\frac{a}{n}+\mathbb{Z}$ con $1\leq a\lt n$ , $\gcd(a,n)=1$ .
Desde $\gcd(a,n)=1$ existe $x,y\in\mathbb{Z}$ tal que $ax+ny=1$ . Por lo tanto, $\frac{1}{n} = \frac{ax+ny}{n} = \frac{ax}{n}+y$ . Así, $\frac{1}{n}+\mathbb{Z} \in \langle \frac{a}{n}+\mathbb{Z}\rangle$ ; ya que $\frac{a}{n}+\mathbb{Z}\in\langle\frac{1}{n}+\mathbb{Z}\rangle$ los dos subgrupos son iguales. Así que el único subgrupo de orden $n$ es $\langle \frac{1}{n}+\mathbb{Z}\rangle$ .
