Integración por partes: ¿Cómo elegir una constante que facilitan los cálculos?

Question

La fórmula de integración por partes es: %#% $de #% que puede ser reescrito como: %$ $$\int u(x)v(x) dx = u(x)V(x) - \int u'(x)V(x) dx$donde C es una constante.

Simplifica algunos cálculos de integración, tales como:

$$\int u(x)v(x) dx = u(x)[V(x)+C] - \int u'(x)[V(x)+C] dx$ $ Cuando tomamos$$ \int x\tan^{-1}(x) dx$y$ u(x)=\tan^{-1}(x)$y$v(x)=x .dxV(x)= \frac {x^2}2 + \frac 12$. Hacer cálculos de medidas más fácil y más simple.

¿La pregunta es: Cómo conocer y elegir esta constante? ¿Hay alguna guía o simplemente experiencia?

Answer 1

Esto no es tan difícil como parece, en primer lugar tenga en cuenta que

$$u(x)(V(x)+C)-\int u'(x)(V(x)+C)dx=u(x)V(x)+Cu(x)-\int\left(u'(x)v(x)+Cu'(x)\right)dx=u(x)V(x)- \int u'(x)V(x)dx+\underbrace{Cu(x)-C\int u'(x)dx}_{\mathrm{\text{these are equal}}}$$

Por lo que podemos utilizar este truco en cada integral (no sólo en la fórmula de integración por partes), donde sabemos que $u(x)$, o es fácil de calcular.

El problema es encontrar ese $C$ que

$$\int (u'(x)V(x) +Cu'(x))dx$$

es más fácil de calcular. En su caso $u'(x)=\frac{1}{x^2+1}$ $V(x)=\frac12x^2$

$$\int \left( \frac{\frac12x^2}{x^2+1} \right)dx\\ =\int \left( \frac{\frac12x^2}{x^2+1} +\frac{C}{x^2+1} \right)dx-C\arctan(x)\\ =\frac12 \int \left( \frac{x^2}{x^2+1} +\frac{2C}{x^2+1} \right)dx-C\arctan(x)\\ =\frac12 \int \left( \frac{x^2+2C}{x^2+1} \right)dx-C\arctan(x)$$

Es evidente que $2C=1$ va a hacer cálculos más fácil, por lo $C=\frac12$.

Pero no hay que mucho de los casos donde es útil y en todos los casos no va a hacer cálculos posible, más fácil. Y sí, esta es la experiencia, pero si no se usa este truco no hay nada malo.