Ecuación de continuidad en geometría diferencial

Question

Estoy buscando una derivación de la masa de continuidad que se aplica en general en simpléctica colectores. En particular, el "la cantidad de cambio en la masa en un volumen es sólo la cantidad que entra o sale" heurística argumento es menos formal de lo que me gustaría. He encontrado una respuesta aquí que da una buena idea de cómo está la prueba de que debe trabajar.

A continuación trato de reproducir una derivación a partir de aquí.

Si tenemos un colector $M$ con un diffeomorphic flujo de $\phi_t$ y el volumen de formulario a -$\mathrm d\omega$, luego de una sub-región de $D$ de nuestro colector tiene una masa de $$M\left(D,t\right)=\int_{D}\rho_{t}\mathrm{d}\omega$$ que no se debe cambiar a medida que fluye a lo largo de $$ \int_{\phi_{t}D}\rho_{t}\mathrm{d}\omega=\int_{D}\rho_{0}\mathrm{d}\omega $$ y ahora hacemos un cambio de variables e introducir el pullback $\phi^*$ $$ \int_{D}\phi_{t}^{*}\rho_{t}\mathrm{d}\omega =\int_{D}\rho_{0}\mathrm{d}\omega$$ y así, tomando el tiempo derivativo, $$ \partial_t\int_{D}\phi_{t}^{*}\rho_{t}\mathrm{d}\omega = \int_{D}\partial_t\left(\phi_{t}^{*}\rho_{t}\mathrm{d}\omega\right) =\int_{D}\partial_t\left(\rho_{0}\mathrm{d}\omega\right)=0$$ El siguiente (y de paso crucial) es transformar el integrando de la siguiente manera,

$$ \partial_t\left(\phi_{t}^{*}\rho_{t}\mathrm{d}\omega\right)= \phi_{t}^{*}\left(\it\unicode{xA3}_X\left(\rho_{t}\mathrm{d}\omega\right)\right)+\phi_{t}^{*}\left(\left(\partial_{t}\rho_{t}\right)\mathrm{d}\omega\right)$$

Donde$\it\unicode{xA3}$ es la Mentira derivado a lo largo del campo de vectores $X$ inducida por $\phi$. Este es el paso que no entiendo (matemática y física). Después de eso simplemente se deshace el retroceso y dice que el integrando debe ser cero, ya que la integral es cero más arbitrario de los dominios y por lo tanto

$$\it\unicode{xA3}_X\left(\rho_{t}\mathrm{d}\omega\right)+\left(\partial_{t}\rho_{t}\right)\mathrm{d}\omega=0$$

y si el fluido es incompresible, a continuación,$\partial_t\rho=\it\unicode{xA3}_X\rho_{t}=0$, por lo que

$$\it\unicode{xA3}_X\mathrm d\omega=0$$

Si alguien puede arrojar luz sobre la problemática paso anterior, o proporcionar una derivación distinta en el mismo espíritu sería muy apreciada.

Answer 1

$$ \partial_t\left(\phi_{t}^{*}\rho_{t}\mathrm{d}\omega\right)= \phi_{t}^{*}\left(\it\unicode{xA3}_X\left(\rho_{t}\mathrm{d}\omega\right)\right)+\phi_{t}^{*}\left(\left(\partial_{t}\rho_{t}\right)\mathrm{d}\omega\right)\etiqueta 1$$ Esto es bastante fácil, la razón fundamental por la que el resultado anterior es que

$\quad\quad$ la función de $\phi_{t}^{*}\left(\rho_{t}\mathrm{d}\omega\right)$ tiene dos independientes temporal dependencias debido a la naturaleza de la $\rho$.

(a) Uno de ellos es debido a la dependencia paramétrica de $\rho$ en tiempo, como $\rho=\rho(t,x)$.

(b) El otro es debido a que el pullback $\phi_{t}^{*}$ que sólo actúa en el espacial de las variables de $x$.

Observe que, en cambio, $\omega$ depende de $t$ sólo a través de las variables espaciales bajo la acción de $\phi_t$, ya que no tiene ningún explícita de las dependencias de la $t$.

El segundo ingrediente es la definición de la Mentira derivado con respecto al campo de vectores $X$ generación de la de un grupo de parámetros de (simpléctica) diffeomorphisms $\{\phi_t\}_{t \in \mathbb R}$: Si $\Xi$ es un campo tensorial, tenemos $$\partial_t \phi_{t}^{*} \Xi = \phi_{t}^{*} {\it\unicode{xA3}_X} \Xi\:.$$

Pasemos a (1). El uso de la elemental regla de Leibniz para $\partial_t$ tomando las dos dependencias de la $t$ en cuenta, inmediatamente hacemos, $$\partial_t\left(\phi_{t}^{*}\rho_{t}\mathrm{d}\omega\right)= \left.\partial_t\left(\phi_{t}^{*}\rho_{\tau}\mathrm{d}\omega\right)\right|_{\tau=t} + \left.\phi_{t}^{*}\left(\left(\partial_\tau\rho_{\tau}\right)\mathrm{d}\omega \right)\right|_{\tau=t}$$ que es $$\partial_t\left(\phi_{t}^{*}\rho_{t}\mathrm{d}\omega\right)= \left.\phi_{t}^{*}\left(\it\unicode{xA3}_X\left(\rho_{\tau}\mathrm{d}\omega\right)\right)\right|_{\tau=t} + \left.\phi_{t}^{*}\left(\left(\partial_\tau\rho_{\tau}\right)\mathrm{d}\omega \right)\right|_{\tau=t} $$ que es (1).