Teoría libre del campo: ¿Por qué se dice que los modos de Fourier en el caso de un campo libre (decir, verdadero campo de Klein-Gordon) son independientes unos de otros?
Teoría de campos de interacción: ¿Cómo exactamente funciona la adición del término no lineal en la lagrangiana hacen la pareja de modos de Fourier entre sí?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En el caso de un campo escalar, partimos de la acción
$$S=\int d^4x\ \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi+m^2\phi^2$$
La ecuación de movimiento es el de Klein-Gordon ecuación
$$(-\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial^\nu+m^2)\phi=\ddot{\phi}-\nabla^2 \phi+m^2\phi=0$$
Ahora, presentamos los modos de Fourier $\phi_k$: $$\phi=\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi_k $$ En términos de la transformada de Fourier modos, la ecuación de movimiento se convierte en $$\ddot{\phi}_k +\omega^2\phi_k=0,\hspace{2cm}\omega\equiv \sqrt{k^2+m^2}$$ Como se puede ver, esto es sólo un independiente oscilador armónico ecuación para cada valor de $k$. Esto es lo que significa decir que los diferentes modos de Fourier son independientes.
Cuando se introduce un término de interacción proporcional a $\phi^n$ donde $n\geq 3$ (por ejemplo, la canónica $\lambda \phi^4$), tendremos términos proporcionales a $\phi^{n-1}$ ($4\lambda\phi^3$ en mi ejemplo) en la ecuación de movimiento. Cuando se va para el espacio de Fourier, estos poderes de $\phi$ 'su propio sello', por lo que obtener un término algo como $\phi_{k_1}\phi_{k_2}\dots\phi_{k_{n-1}}$. Como se puede ver, la ecuación de movimiento ya no sólo depende de una sola de Fourier modo! Los modos de Fourier son ahora junto.
