Conjunto de Mandelbrot y números primos

Question

He escrito un programa simple en C para generar el conjunto de Mandelbrot. Donde sea que haga zoom, me parece que veo números primos, con más frecuencia 11, 17, 19. Por ejemplo, el objeto en la imagen adjunta tiene 11 ramas.

¿Existe alguna explicación más profunda, o simplemente me han confundido con algún tipo de numerología?

Answer 1

En primer lugar, no creo que sea el caso de que las espirales con un número primo de brazos aparezcan más o menos frecuentemente que las espirales con un número compuesto de brazos. El hecho es que, para cada $n$, hay infinitas espirales con $n$ brazos. Aquí hay una espiral con 12 brazos:

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Lo que realmente es sorprendente y conecta el número de brazos en una espiral con ciertos tipos de números es que la distribución de los bulbos en cualquier componente del conjunto de Mandelbrot se puede determinar usando fracciones de Farey. Esto está bellamente descrito en este documento de Bob Devaney.

Considera, por ejemplo, la siguiente imagen del conjunto de Mandelbrot:

Las fracciones $1/2$, $1/3$ y $2/5$ etiquetan bulbos en forma de disco que cuelgan de la cardióide principal del conjunto de Mandelbrot. Esas fracciones nos dan mucha información sobre la estructura del conjunto cerca de ahí. En particular, el denominador de cada fracción nos dice cuántos brazos espirales emergen de las decoraciones cercanas. Dados dos bulbos en forma de disco etiquetados por fracciones $a/b$ y $c/d$, el bulbo más grande entre ellos debería tener la etiqueta $(a+c)/(b+d)$. Así es como surge el bulbo $2/5$ entre el bulbo $1/2$ y el bulbo $1/3$. De manera similar, hay un bulbo $3/8$ entre el bulbo $2/5$ y el bulbo $1/3$; si te acercas allí, seguramente encontrarás espirales con 8 brazos.

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Si todo esto es correcto, podríamos utilizarlo para ayudarnos a encontrar dónde se encuentra tu imagen en el conjunto de Mandelbrot. De hecho, pude crear la siguiente imagen:

Esta imagen no está inmediatamente junto a la cardióide principal. Para encontrarla, tuve que usar la parte que está marcada en la figura. Cerca de un parámetro $c$ en el conjunto de Mandelbrot, tiende a "parecer" al conjunto de Julia con ese parámetro $c$. Sé que podemos generar imágenes como la que está en la caja al elegir un valor de $c$ cerca del punto amarillo en la imagen del conjunto de Mandelbrot anterior. Al acercarse allí y encontrar un bulbo de período $11$, pude encontrar tu imagen.

Answer 2

Aparentemente los fractales están relacionados con los números de partición, y Ramanujan encontró una manera de relacionar algunos números primos con números de partición (5, 7, 11), según los siguientes artículos:

http://www.wired.com/wiredscience/2011/01/partition-numbers-fractals/

http://www.aimath.org/news/partition/

Ve que tus primos son más grandes, pero quién sabe, tal vez encuentres estas conexiones en números de partición más altos o en diferentes fractales.