Probar el registro natural desigualdad $\frac{3}{4} < \frac{1}{\sqrt{3}} \log(2 + \sqrt{3}) < \frac{\pi}{4}$

Question

Me topé con la siguiente desigualdad sharp $$\frac{3}{4} < \frac{1}{\sqrt{3}} \log (2 + \sqrt{3)} < \frac{\pi}{4}$$ tengo un poco de progreso en la primera parte, pero no movió la segunda desigualdad. Algunos consejos sobre cómo demostrar que sería más que Bienvenido.

Answer 1

Un buen punto de partida es: %#% $#% por lo que solo tenemos que probar que:$$\begin{eqnarray*}\log(2+\sqrt{3})&=&\int_{0}^{\pi/3}\frac{d\theta}{\cos\theta}=2\int_{0}^{1/\sqrt{3}}\frac{dt}{1-t^2}\\&=&\frac{2}{\sqrt{3}}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{1}{(2j+1)\,3^j}\end{eqnarray*}$ $LHS la desigualdad es trivial (sigue sumando los términos correspondientes a$$\frac{3}{4}<\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{2}{(2j+1)\,3^{j+1}}<\frac{\pi}{4}.\tag{1}$), mientras que el lado derecho se desprende el hecho de que la serie converge muy rápido: $j=0,1,2$ $