Integrar

Question

Tenga en cuenta:

$$\int \frac{1}{1+\arctan(x)}dx$$

He intentado hacer $x=\tan(u)$ y $\frac{dx}{du}=\sec^2(u)$

entonces terminó con:

$$\int \frac{\sec^2(u)}{1+u}du$$

$$\int \frac{1+\tan^2(u)}{1+u}du$$

$$\int \frac{1}{1+u}du+\int \frac{\tan^2(u)}{1+u}du$$

$$\ln\left|1+\arctan(x)\right|+\int \frac{\tan^2(u)}{1+u}du$$

Y no sé qué hacer de ahí en.

Answer 1

No existe ninguna solución en términos de estándar de funciones matemáticas. Esto puede ser demostrado mediante el Algoritmo de Risch. Esto no es algo que recomiendo hacer a mano.

La forma más fácil de comprobar si una integral de una solución es pedir Wolfram Alpha que utiliza este algoritmo o una mejor garantía de una solución es que existe. De lo contrario, se muestra:

(no se encontró el resultado en términos de estándar de funciones matemáticas)

Para copia de seguridad de mi reclamación:

Para las integrales indefinidas, una versión extendida del algoritmo de Risch se utiliza siempre que tanto el integrando y la integral se puede expresar en términos de funciones elementales, integral exponencial funciones, polylogarithms, y otras funciones relacionadas.

Answer 2

Estoy bastante seguro de que esto no tiene una forma cerrada. Un cambio de variable e integración por partes me tiene a: %#% $ de #% WolframAlpha dice que la integral derecha no tiene ninguna forma cerrada, y no puedo pensar en algo útil que hacer con él. ¿Puede tener algunos valores de la integral definida lindo?