Si $a, b, c$ son lados de un triángulo, demostrar que $\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{a+c-b} + \frac{c}{a+b-c} \ge 3$

Question

Si $a, b, c$ son lados de un triángulo, cómo puedo demostrar que %#% $ #%

Answer 1

Conjunto de $b+c-a=x, a+c-b=y$ y $a+b-c=z$
Debido a la desigualdad triangular, $x,y,z$ son positivos. Por lo tanto, podemos aplicar la desigualdad de AM-GM. Tenemos $x+y=b+c-a+a+c-b=2c \implies c = \frac{x+y}{2}$
Del mismo modo $a = \frac{y+z}{2}$ y $b = \frac{z+x}{2}$
Ahora tenemos, $$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}$ $ $$\Leftrightarrow 2\left ( \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c} \right )=\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+\left ( \frac{y}{z}+\frac{z}{y} \right )+\left ( \frac{z}{x}+\frac{x}{z} \right )\geq 6$ $ ahí $\ $ $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

Answer 2

C-S $\sum\limits_{cyc}\frac{a}{b+c-a}=\sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{ab+ac-a^2}\geq\frac{(a+b+c)^2}{\sum\limits_{cyc}(2ab-a^2)}\geq3$, donde la última desigualdad es $$\sum\limits_{cyc}(a-b)^2\geq0$ $. ¡Hecho!

Answer 3

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{b+c-a}-3=\sum\limits_{cyc}\left(\frac{a}{b+c-a}-1\right)=\sum\limits_{cyc}\frac{a-b-(c-a)}{b+c-a}=$ $=\sum\limits_{cyc}(a-b)\left(\frac{1}{b+c-a}-\frac{1}{a+c-b}\right)=\sum\limits_{cyc}\frac{2(a-b)^2}{(b+c-a)(a+c-b)}\geq0$

Answer 4

Desde $(a,b,c)$ y $\left(\frac{1}{b+c-a},\frac{1}{a+c-b},\frac{1}{a+b-c}\right)$ son los mismos que ordenaron, por Chebyshov y C-S se obtiene: $\sum\limits_{cyc}\frac{a}{b+c-a}\geq\frac{1}{3}(a+b+c)\sum\limits_{cyc}\frac{1}{b+c-a}=\frac{1}{3}\sum\limits_{cyc}(b+c-a)\sum\limits_{cyc}\frac{1}{b+c-a}\geq\frac{1}{3}\cdot9=3$.