Determinante de un producto del tensor de dos paquetes de vectores

Question

Deje $X$ ser una variedad lisa de más de un campo, $V_1$ $V_2$ son dos vectores paquetes de más de $X$ de filas $r_1$ $r_2$ respectivamente. Determinante de un vector paquete es la parte superior exterior de la potencia del vector paquete decir, una línea de paquete $$ \operatorname{det}(V)=\bigwedge^{rk(V)} V. $$

Es cierto que $$ \operatorname{det}(V_1 \otimes V_2) \cong \operatorname{det}(V_1)^{r_2} \otimes \operatorname{det}(V_2)^{r_1}? $$ Parece una observación obvia si pienso acerca de vector paquetes en términos de la transición de las funciones y, a continuación, aplicar la propiedad correspondiente para determinantes de producto tensor de mapas de espacios vectoriales. Primero de todo, ¿es correcto?

Hay una prueba de que no hace uso de la transición de las funciones?

Answer 1

Sí, eso es una buena prueba.

Como principio general, si usted puede escribir un isomorfismo de espacios vectoriales sin hacer ningún tipo de opciones, entonces usted ha escrito un isomorfismo de vector de paquetes.

Vamos a hacer que el principio preciso en este caso. En un pequeño conjunto abierto $U$, banalizar el vector de paquetes de $V_1$ $V_2$ con marcos (:=secciones que forman una base en cada momento, tenga en cuenta que, aparentemente contra el principio, hemos hecho una elección) $e_1, \ldots, e_n$ $f_1, \ldots, f_m$ (he cambiado la notación $r_1, r_2$ $m, n$para evitar la doble subíndices).

A continuación, el paquete de $V_1 \otimes V_2$ es trivializado con marco de $e_i \otimes f_j$ y su determinante trivializado con el singleton marco (en orden alfabético) $$ (e_1 \otimes f_1) \wedge (e_1 \otimes f_2) \wedge \ldots \wedge (e_1 \otimes f_m) \wedge(e_2\otimes f_1) \wedge \ldots \wedge (e_n \otimes f_m) $$ que podemos mapa $$ (e_1\wedge \ldots \wedge e_n)^m \otimes (f_1 \wedge \ldots f_m)^n. $$ Ahora parece tan lejano que nuestro mapa depende de las opciones, pero no lo hace. Sólo tenemos que comprobar que al multiplicar un $e_i$ por una función invertible, añadiendo $\phi e_i$ $e_j$($\phi$ una función arbitraria), o flip-flop $e_i$ $e_j$ no hace nada (y lo mismo para$f_i$$f_j$). Tenga en cuenta que, en cada caso, las bases dadas por $\text{det}(V_1 \otimes V_2)$ $\text{det} (V_1)^m \otimes \text{det} (V_2)^n$ se multiplica por la misma función escalar, por lo que el mapa no cambia.

Estábamos (supuestamente) haciendo todo lo anterior razonamiento en un pequeño conjunto abierto $U$; de lo contrario, puede no existir un marco (la existencia de un marco en un conjunto abierto es equivalente a un vector paquete de ser trivial). Ahora supongamos que definir un mapa global haciendo el mismo razonamiento en TODOS los bloques abiertos. Tenemos que comprobar que si $U$ $W$ son diferentes, hemos definido el mismo mapa en $U \cap W$.

Pero se desprende de la independencia de opciones. La restricción de la elección de un marco de más de $U$ a un marco de más de $U \cap W$ da el mapa de paquetes de más de $U \cap W$, y lo hace con la restricción de la elección de un marco de más de $W$. Pero sabemos que el mapa no depende de una elección. Así que por lo tanto, hemos dado un mapa global de vector de paquetes.

En general puede ser general para tratar de trabajar incluso de manera más abstracta, es decir, no en términos de la recolección de bases, por lo que se hace de forma completamente automática, por el principio anterior, que un mapa de espacios vectoriales se extiende a un mapa de vector de paquetes.