Detalle sobre la definición de orientabilidad

Question

Tengo un pequeño problema con una de las muchas definiciones de orientabilidad. En lo que sigue $M$ siempre denotará un colector liso y conexo, $T_{m}M$ será el espacio tangente a $m$ , $\mathcal{B}_{m}$ será el conjunto de bases ordenadas de $T_{m}M$ es decir $$\mathcal{B}_{m}:=\{(v_{1},\ldots,v_{n})\in (T_{m}M)^{n};\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\{v_{1},\ldots,v_{n}\}=T_{m}M\}$$$ \sim_{m} $ will denote the equivalence relation on $ \mathcal{B}_{m} $ obtained by $ v\sim_{m}w:\Leftrightarrow \det(A(v,w))>0 $, where $ v=(v_{1},\ldots,v_{n}) $ and $ w=(w_{1},\ldots,w_{n}) $ are elements in $ \mathcal{B}_{m} $ and $ A(v,w) $ is the unique element in $ \(T_{m}M) $ satisfying $ A(v,w)v_{i}=w_{i} $ for all $ 1\leq i\leq n $. Finally $ \Lambda_{n}(T_{m}M) $ denotes the space of alternating $ n $-forms on $ T_{m}M $ and $ \Lambda_{n}^{\ast}(M):=\bigcup_{m\in M}\{m\}\times\Lambda_{n}(T_{m}M) $. I have topologized $ \Lambda_{n}^{\ast}(M) $ by requiring that if $ (U,\rho) $ is a chart in the maximal atlas on $ M $, then the map $ \tilde{\rho}:\tilde{U}\to\mathbb{R}^{n+1} $ is smooth, where: $$ \tilde{U}:=\bigcup_{m\en U}\Lambda_{n}(T_{m}M) \texto{ y }\tilde{\rho}(m,\omega): =\left(\rho(m),\omega\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}\bigg|_{m},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{n}}\bigg|_{m}\right)\right) $$ Indeed the image of $ \. $ is open in $ \mathbb{R}^{n+1}$ y así sucesivamente. El objetivo principal es dar más sentido a la siguiente afirmación:

Definición

M es orientable si $\Lambda_{n}^{\ast}(M)\setminus N$ tiene dos componentes conectadas, donde $N$ es el alcance del mapa $\omega:M\to\Lambda_{n}^{*}(M): \omega(m):=(m,0)$ .

Tengo dificultades con la siguiente afirmación:

Problema

$\Lambda_{n}^{\ast}(M)\setminus N$ tiene como máximo dos componentes.

Es decir, tiene uno o dos. Lo abordé comparando diferentes nociones de orientabilidad. Hasta ahora he conseguido demostrar la siguiente afirmación:

Teorema

Sea $M$ sea una variedad lisa y $\dim M=n$ . Entonces las siguientes son equivalentes:

1. Existe una diferencial suave que no desaparece en ningún sitio $n$ -formar en $M$
2. Existe un atlas $\mathcal{A}$ en $M$ tal que para todo $(U,\rho),(V,\psi)\in\mathcal{A}$ tiene $\det(\operatorname{d}_{m}(\rho\circ\psi^{-1}))>0$ para todos $m\in U\cap V$ .
3. Existe un mapa $\epsilon:M\to\bigcup_{m\in M}\mathcal{B}_{m}/\sim_{m}$ y para todos $m\in M$ existe $U\subseteq M$ un barrio abierto de $m$ y campos vectoriales suaves $X_{1},\ldots,X_{n}$ en $U$ tal que para todo $p\in U$ tiene $(X_{1}(p),\ldots,X_{n}(p))\in\epsilon(p)$ .
4. $\Lambda_{n}^{\ast}(M)\setminus N$ tiene dos componentes.

Esto no me dice por qué tenemos uno o dos componentes (y definitivamente no más). No tengo ni idea de qué hacer (incluso he intentado una prueba directa).

Edición: Me parece de lo más prometedor demostrar que no-3 implica que $\Lambda_{n}^{\ast}(M)$ sólo tiene un componente, es decir, trataría de demostrar que si para cada $\epsilon:M\to\bigcup_{m\in M}\mathcal{B}_{m}/\sim_{m}$ existe $m\in M$ tal que para cada vecindad abierta $m\in U\subseteq M$ y todos los campos vectoriales suaves $X_{1},\ldots,X_{n}$ en $U$ satisfaciendo $(X_{1}(p),\ldots,X_{n}(p))\in\mathcal{B}_{p}$ para todos $p\in U$ podemos encontrar $p,q\in U$ tal que $(X_{1}(p),\ldots,X_{n}(p))\in\epsilon(p)$ y $(X_{1}(q),\ldots,X_{n}(q))\not\in\epsilon(q)$ entonces $\Lambda_{n}^{\ast}(M)\setminus N$ tiene un componente. ¿Qué opina al respecto? ¿Es viable?

Muchas gracias

Manuel

Answer 1

Esbozo de una posible prueba:

deje $\pi: \Lambda_n^*(M) \to M$ sea el mapa de proyección natural.

1. Sea $C$ sea un componente conexo de $\Lambda_n^*(M)$ . Demuestre que $\pi(C) = M$ .
2. Sea $U$ sea un subconjunto abierto trivializante conexo no vacío de $M$ entonces $\pi^{-1}(U) - U = U \times \mathbb{R}_{> 0} \cup U \times \mathbb{R}_{< 0}$ . (1) muestra que $C$ contiene al menos uno de estos dos componentes.

a. Si para algún $U$ , $C$ contiene ambos componentes, demuestre que $C = \Lambda_n^*(M)$ .

b. Si para todo $U$ , $C$ contiene un solo componente, dejemos que $D$ sea la unión de todos los demás componentes. Demuestre que $D$ está conectado y $\Lambda_n^*(M) = C \cup D$ .

Answer 2

Puede demostrar fácilmente que $\dim\Lambda_n^*(V) = 1$ (como haz vectorial), por lo que sólo hay que demostrar, que para cada sección $\omega\neq 0$ y $\lambda > 0$ , $\lambda\omega\in\Lambda_n^*(V)\setminus\{0\}$ . Así, para todos $\omega\neq 0$ se obtendría la conexión con todos los demás $\omega'$ en el mismo "lado" de $0$ (recordando siempre que aquí se trabaja sobre el eje real), por lo que se tienen como máximo 2 componentes conectadas.