Hilo de funciones similares

Question

Cuando envolver la lana alrededor de una pelota no puede hacer giros bruscos o el hilo se caen. Si pensamos en el hilo como una curva en la superficie de la esfera, le diría que debe tener una curvatura menos de algunos pequeños m constante. (es decir, el mejor ajuste tangental círculo debe tener el radio mayor que $\frac 1m$)

El hilo debe ser envuelto de manera uniforme: no debe traslaparse con demasiada frecuencia. (Esto llevaría a la bola de hilo de tomar en una no-forma esférica a lo largo del tiempo. No es bueno!) La distribución de la auto-intersecciones deben ser de casi constante de la densidad sobre la superficie de la esfera. El hilo de dividir la superficie de la esfera en las regiones. Si $A_i, A_j$ son las áreas de cualquiera de estas regiones, a continuación, para algunos pequeños constante de F, $|A_i- A_j| < F$, $\forall i, j$.

Como la curva se extiende más y más (envuelto alrededor veces más) la densidad de intersecciones deben aumentar y $A_i \rightarrow 0$ para todas las regiones.

Sé que una respuesta es generado al azar de la curva que se desvía de un camino recto. El paso del tiempo se produce una perfecta bola de hilo.

Quiero saber si hay un no-aleatorio de la respuesta a esta pregunta.

---

Mi propia tratar:

*En el intento de resolver este yo pensé que podría ser una buena idea para el proyecto de la esfera sobre el plano, como una superficie de Riemann. Pero, dado que muchos de los requisitos se centran en la uniformidad, esto hace que el problema un poco strage. Observar: El área de las regiones tendrá que aumentar a medida que nos alejamos de la unidad de círculo hacia el infinito. Si la curva nunca pasa por el polo norte, luego de que el avión versión dispara hasta el infinito. Lo que me pareció aún más extraño es lo que pasaría si la curva simplemente pasan muy cerca, pero no a través de, el polo norte. Luego, en el avión, la curva sería ir muy lejos del origen y, a continuación, vuelve atrás. Por hacer la curva lo suficientemente cerca del polo norte, los bucles pueden ser tan grandes como queramos. Desde envoltura aumenta la densidad de manera uniforme, si observamos el patrón de envoltura se proyecta sobre el plano sería extraño nudo que, a lo largo del tiempo, se mantiene a la fundición más grande y más grande de las demás bucles, siempre crecer y ser no acotado. (incluso sin ningún tipo de intersección con el polo norte!) El requisito sobre la curvatura, significaría que el nudo podría ser más curvas en el interior del círculo unitario, y luego crecen menos curvas a medida que nos alejamos del origen. No sé de ningún curva, y así he abandonado esta manera de pensar sobre el problema. Pero, he pensado que me gustaría compartir. *

Actualizado para añadir un dibujo de la proyección de la idea.

---

Actualización 2:

Tal vez si me proyectado el siguiente diagrama polar en la esfera de Riemann?

El gráfico de la forma $r= \theta^2 \sin (k \theta)$ producido buenos resultados para $0 < k <1$... pero todos los gráficos son demasiado densa cerca del origen. También, envolviendo gustaría empezar en una desigual manera, el relleno en la parte inferior de la esfera de primera, a continuación, mover... y nunca alcanzar el polo norte! Pero, tal vez hay alguna manera de modificar esto?

(Este gráfico muestra el tipo de no-al azar patrón que tengo en mente para una solución. En un sentido práctico una solución a este problema podría ser utilizado para el viento esférica bolas de cuerdas, hilos o cuerdas en un ajuste de fábrica. Ahora, voy a pensar acerca de cómo iba a enseñar a un robot a viento de una bola de hilo... si el robot es incapaz de hacer cosas al azar. ¿Qué te gustaría decirle al robot a hacer?)

Answer 1

El siguiente Maxima código traza una curva que puede hacer lo que quiera. La idea es comenzar con un punto describiendo un círculo en la esfera. Lo siguiente que queremos introducir rotaciones del marco de coordenadas alrededor de cada uno de los ejes. Los ángulos de rotación varía linealmente con el tiempo. Todos los cocientes de "períodos" en cuestión debe ser irracional. Creo que es cierto que con el tiempo pase tan cerca como usted desea para cualquier punto dado. Esto ya es cierto para una rotación. No sé cómo probar o refutar sus requisitos de densidad. Debería ser posible calcular la curvatura como una función de t. Es posible que dos en lugar de tres rotaciones son suficientes.

Visualmente evaluar la densidad de la curva que usted podría utilizar un área igual a la mapa, tales como la de Lambert azimuthal de proyección (de cualquier hemisferio).

rotx(a, p) := [ p[1], cos(a)*p[2] - sin(a)*p[3], sin(a)*p[2] + cos(a)*p[3] ];
roty(a, p) := [ sin(a)*p[3] + cos(a)*p[1], p[2], cos(a)*p[3] - sin(a)*p[1] ];
rotz(a, p) := [ cos(a)*p[1] - sin(a)*p[2], sin(a)*p[1] + cos(a)*p[2], p[3] ];

b1 : %pi;
b2 : %pi^2;
b3 : %pi^3;

f0(t) := [ cos(t), sin(t), 0 ];
f1(t) := rotx(t/b1, f0(t));
f2(t) := roty(t/b2, f1(t));
f3(t) := rotz(t/b3, f2(t));

T : 400;
plot3d(f3(t)*s, [t, 0, T], [s, 1, 1+1e-2], [grid, 8*T, 1]);

Answer 2

http://en.wikipedia.org/wiki/Hairy_ball_theorem

(Henri Poincaré ) . Usted no puede peine de filamentos paralelos sin llegar a una singularidad.

Prácticamente digamos que si el 10 por ciento de área que queda fuera de grueso bulto/mechón de la formación en los polos norte y sur, luego "Involuciona" en una esfera puede ser empleado. Un paquete de igual diámetro de hilo lleno de lado a lado a lo largo de una S en forma de espirales de tocar a los lados sin ningún tipo de lagunas es posible. El envío de un boceto.

EDIT1:Puede ser más explicación es necesaria. Me han indicado solo una posibilidad.No hay ninguna manera de evitar la formación de grumos uso de un solo eje de rotación. La foto de caso tiene constante el espesor de la cubierta y diseñado para tener compactada trenzado/doblado de tubos cuyo número y diámetro puede ser elegido.

Meridiano: $r^2 + z^2 = a^2$

$ z/sqrt(r^2 -{r_b}^2) = a k_g = a/R_g $

Hilos exageradamente muestra como tubos,siendo geodésica en el ecuador $ r=a $ y convertirse en cúspides en $r={r_b}$ con cero ${R_g}$.

El eje de rotación tiene que ser en constante cambio. El eje puede ser girado con una cobertura uniforme a lo largo de icosaedro diámetros por ejemplo, o de otro tipo con otros esférica eje de simetría establece que la garantía de uniforme el área de cobertura con el aumento de la deposición de hilo, mientras que la programación de un CNC de la máquina o robot. La superficialidad de "prohibido el casquete polar" iba a ser promediadas y desaparecen con más hilo de la deposición.