Juego teoría - no está segura de cómo proceder con esta pregunta

Question

Una empresa tiene un concurso para ganar un coche. Cada concursante debe elegir un positivo entero. Si hay al menos una única opción, la persona que hizo la única más pequeño elección gana el coche. Si no hay opciones únicas, la compañía mantiene el coche y no hay ninguna repetición de la competencia. Resulta que sólo hay tres concursantes, y usted es uno de ellos. Todo el mundo sabe que antes de la recolección de sus números que sólo hay tres concursantes. ¿Cómo debe hacer su elección?

Pensamientos: Ya que no hay ninguna estrategia que se puede adoptar de que los demás pueden, se deben tratar de la situación en la que los otros 2 seleccione el mismo número que usted necesita para evitar, tan perversamente apuntar alto. Sin embargo, los otros 2 se puede hacer lo mismo, así que ¿tu objetivo es bajar de los números altos, o los hace ninguna diferencia?

Entiendo que la respuesta es no: pick 12, pero una vez que usted ha ido más allá de la estrategia de conseguir los otros 2 para que coincida, hacer que cubrir sus apuestas algo por mantenerla baja, o maximizar las posibilidades de su estrategia de trabajo yendo increíblemente alta (utilizando exponenciales, etc.).

Answer 1

Supongo que no hay posibilidad de colusión entre los jugadores. Considerar estrategias mixtas $S$ donde elegir entero positivo $i$ con una probabilidad de $S_i$. Por lo tanto todos los $S_i \ge 0$$\sum_{i=1}^\infty S_i = 1$. No parece ser un equilibrio de Nash en el que los tres jugadores (de forma independiente) utilizar la misma estrategia mixta, que da resultado positivo en las probabilidades para todos los enteros positivos. Los primeros 9 probabilidades son aproximadamente $S_1 = .4563110597, S_2 = .2480914427, S_3 = .1348849695, S_4 = 0.07333654926, S_5 = 0.03987532390$, $S_6 = 0.02168843374, S_7 = 0.01181641450, S_8 = 0.006495476489, S_9 = 0.003750165099$. Obtuve estos de la siguiente manera.

Supongamos que los otros dos jugadores elegir la estrategia mixta $S$, y usted elige el número de $j$. Entonces la probabilidad de ganar (es decir, cualquiera de los dos elegir el mismo número de $< j$ o ambos elija los números de $> j$) es $Q_j = \sum_{i=1}^{j-1} S_i^2 + (1 - \sum_{i=1}^j S_i)^2$. En orden para $S$ todos $S_i > 0$ a ser un equilibrio de Nash, el jugador no puede tener un incentivo para "defecto", por lo que no $Q_j$ puede ser mayor que la probabilidad de $Q_S$ de la ganancia si también elige estrategia mixta $S$. Pero $Q_S = \sum_{j=1}^\infty Q_j S_j$, lo $Q_S \le \max_j Q_j$. Llegamos a la conclusión de que todos los $Q_j$ debe ser igual. Por lo $S$ debe ser una solución de conjunto infinito de ecuaciones no lineales $ \{ \sum_{j=1}^\infty S_j = 1, \ Q_1 = Q_2 = Q_3 = \ldots \} $. Dudo que haya una forma cerrada de la solución, pero he usado Maple fsolve para obtener una solución numérica a un número finito de truncamiento del sistema, con el resultado que he citado anteriormente.

Answer 2

Descarada Publicidad: la Teoría de juegos propuesta en el Área 51, que debe seguir!

Esta es la única más baja de enteros positivos (LUPI) juego, que está relativamente bien estudiado o escasamente estudiado en función de a quién le preguntes, y el año en el que usted ha pedido. Parece que existen algunas buenas respuestas; por ejemplo, si todos los números son permitidos, uno simétrico estrategia mixta es:

$$\text{Each player chooses } m \text{ with probability } \frac{1}{2^m}$$

Por simetría, el equilibrio entre los primeros a $n=3$ números naturales, elija $1$ con una probabilidad de $2\sqrt3-3\approx46.4\%$ $2$ $3$ cada uno con una probabilidad de $2-\sqrt3\approx26.8\%$, de acuerdo con los Comentarios sobre la " Subasta Inversa: La Única más baja de Enteros Positivos Juego (2008)

Si no es "de Poisson distribuidos de la incertidumbre sobre el número de jugadores", entonces usted necesitará un modelo igual que en las Pruebas de la Teoría de juegos en el Campo: sueco LUPI los Juegos de la Lotería (2010), que da algunas experimental y los resultados reales, debe ser tan inclinado.

Otras referencias, en general el trato con endógeno de entrada (cualquiera puede entrar) incluyen:

• Menos Precio Inigualable Subastas (2007)
• Subasta Inversa: La Única Más Baja De Enteros Positivos Juego (2007)
• La Única Más Baja De Sellado-Bid Subasta (2008)
• El equilibrio de la Solución a los más bajos Único Entero Positivo Juego (2009)
• El equilibrio de la Estrategia y de la Población-los Efectos de Tamaño en Única más baja Subasta (2012)

Algunos de los cuales son de este casi idéntica MathOverflow post sobre Oferta Única más baja

Después de pasar un tiempo considerable en lo que yo pensaba que era una simple pregunta (a pesar de haber sido previamente advertido en un Comportamiento de Juego de clase de Teoría de hace dos años), realmente no puedo validar estas respuestas, pero alguien en un Juego de Teoría StackExchange podría!

Answer 3

Digamos que n es el número más alto que cualquier jugador puede escoger. Entonces, si usted elige n, usted gana en cualquier momento los otros dos jugadores eligen el mismo número, excepto n.

Ahora considere la posibilidad de elegir n+1, entonces usted gana en cualquier momento los otros dos elijan el mismo número. Observamos que n+1 es mejor que n, y no puede haber un equilibrio. Por lo tanto, habrá un montón de alta presentaciones por parte de cada concursante.