¿Qué es un espacio vectorial normado ultramétrico?

Question

El artículo de Wikipedia sobre espacios ultramétricos parece sugerir que un espacio ultramético también puede ser un espacio vectorial normado.

Parece imposible que una ultramétrica sea inducida por una norma de espacio vectorial, porque si $v$ es un vector no nulo, entonces $$d(0,2v)=\|2v\|=2\|v\|>\|v\|=\max(d(0,v),d(v,2v)) $$ contradictorio $d$ siendo un ultramétrico.

¿Qué pasa ahí? ¿Existe un concepto de "espacio vectorial normado" que prescinda del requisito de que la multiplicación escalar escale la norma en consecuencia? (Eso sería más bien un "grupo abeliano normado", entonces).

Answer 1

La igualdad correcta es $\|a v\|=|a|\|v\|$ para algunos valor absoluto $|\cdot|$ en el campo escalar. Los valores absolutos pueden ser no arquimédicos y satisfacer la desigualdad ultramétrica. En tal caso, $|k|\le 1$ para todos $k\in\Bbb N$ .

Por ejemplo, $\|(v_1,\cdots,v_n)\|:=\sqrt{|v_1|_p^2+\cdots+|v_n|_p^2}$ hace $\Bbb Q^n$ un espacio vectorial normado ultramétrico sobre $\Bbb Q$ , donde $|\cdot|_p$ representa el $p$ -Valor absoluto de la adicción .