Una extraña ecuación trigonométrica

Question

Hoy en día,en nuestra clase, hemos recibido una ecuación trigonométrica

$$\sin^{10}{x}+\cos^{10}{x}=\frac{29}{16}\cos^4{2x}$$

y la cuestión era encontrar la solución general de esta ecuación. Mi enfoque fue, al principio, tratando de mostrar que no había soluciones mediante el uso de las desigualdades, pero yo no. Por lo tanto, mi último método fue, la expansión de la RHS por el teorema del binomio, y la cancelación de algunos términos, que en el último se da una ecuación cuadrática en $\sin{x}\cos{x}$. Pero este camino era demasiado largo.

Puede alguien sugerir o dar un método más sencillo? Creo firmemente que hay un truco en ques para hacerlo más fácil, que no puedo resolver.

Answer 1

$\displaystyle\cos2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$

Ajuste $\displaystyle\cos2x=u,$ obtenemos $$\left(\frac{1-u}2\right)^5+\left(\frac{1+u}2\right)^5=\frac{29}{16}u^4$ $

$$\iff2\left[1+\binom52u^2+\binom54u^4\right]=2^5\cdot\frac{29}{16}u^4$$

Otra vez, $\displaystyle u^2=\frac{1+\cos4x}2$

Answer 2

$$ \sin^{10}x + \cos^{10}x = \frac{29}{16} \cos^4 2x $$

Podemos hacer alguna manipulación algebraica con el lado izquierdo de la siguiente manera-

$$ \sin^{10}x + \cos^{10}x $$

$$\left(\frac{1- \cos 2x}{2}\right)^5 + \left(\frac{1+ \cos 2x}{2}\right)^5$$

$$ 2\times \frac{\left( \binom{5}{0} + \binom{5}{2} \cos^{2}2x + \binom{5}{4} \cos^4 2x \right)}{2^5}$$

Esto equivale a la RHS y resolver la cuadrática en $\cos^2 2x.$

Answer 3

Sabemos que $X^5+Y^5=(X+Y)(X^4-X^3Y+X^2Y^2-XY^3+Y^4)$; si establecemos $X=\sin^2x$$Y=\cos^2x$, el lado izquierdo se convierte en $$ (\sin^2x+\cos^2x)(\sin^8x-\sin^6x\cos^2x+\sin^4x\cos^4x-\sin^2x\cos^6x+\cos^8x) $$ o $$ \sin^8x+\cos^8x+\sin^4x\cos^4x-\sin^2x\cos^2x(\sin^4x+\cos^4x) $$ Los tres primeros términos puede ser escrito $$ (\sin^4x+\cos^4x)^2-\sin^4x\cos^4x $$ y $$ \sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sen^2x\cos^2x=1-2\sen^2x\cos^2x $$ así, obtenemos $$ (1-2\sen^2x\cos^2x)^2-\sin^4x\cos^4x-\sin^2x\cos^2x(1-2\sen^2x\cos^2x) $$ que simplifica aún más en $$ 1-4\sen^2x\cos^2x+4\sin^4x\cos^4x-\sin^4x\cos^4x -\sin^2x\cos^2x+2\sin^4x\cos^4x $$ que es $$ 1-5\sen^2x\cos^2x+5\sin^4x\cos^4x $$ o $$ 1-\frac{5}{4}\sin^2(2x)+\frac{5}{16}\sin^4(2x) $$ Puede usted ir?

Answer 4

¿Este enfoque se puede de alguna manera útil? Set $sin^2x=u$ y $cos^2x=1-u$ similar a lo que se sugiere en uno de los comentarios anteriores. ¿Entonces, después de algunas manipulaciones simplifican las ecuaciones a $$-\frac{(48a^2 - 48a + 13)\cdot(8a^2 - 8a + 1)}{16}=0$$ (I used matlab's symbolic toolbox to obtain this) whose real solutions are $$u=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{2}$$ and $% $ $u=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}$puede usted seguir desde aquí?

Answer 5

Reescritura de $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$ y $\cos^{10}(x)=(1-\sin^2(x))^5$ y luego factor $\sin^{10}(x)+(1-\sin^2(x))^5-\frac{29}{16}(1-2\sin^2(x))^4$ % $ $$-\frac{1}{16}(48\sin(x)^4-48\sin(x)^2+13)(8\sin(x)^4-8\sin(x)^2+1)=0.$la primera ecuación no tienen soluciones de puesto que el discriminante es negativo y el segundo con el % de soluciones $\sin(x)=\pm\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$dando el % de soluciones $\frac{k\pi}{8}, k=\pm 1, \pm 3$.