Familia de sistemas conectados, demostrando la Unión está conectado

Question

Estoy teniendo algunos problemas tratando de demostrar que la siguiente instrucción: Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico y $\mathcal A$ una familia de conjuntos conectados en $X$ tal que para cada par de subconjuntos $A,B \in \mathcal A$ existen $A_0$,...,$A_n \in \mathcal A$ que satisfacer $A_0=A$, $A_n=B$ y $A_i \cap A_{i+1} \neq \emptyset$ para cada i=0,...,n-1. Demostrar que $\bigcup_{A \in \mathcal A}A$ está conectado. I've tried to prove it by the absurd: Suppose the union is disconnected, then there exist $U$ and $V$ nonempty disjoint open sets such that $\bigcup_{A \in \mathcal A}A=U \taza de V$. Then, there is $\en \bigcup_{A \in \mathcal Un}Una$ : $\subconjunto V$ and $A \cap V=\emptyset$. The same argument applies for $B \in \bigcup_{A \in \mathcal Un}Una$ with $B \subconjunto U$ ($$ and $B$ both nonempty). By hypothesis, $A=A_0$ and $B=A_n$. In this part I got stuck. I know I have to use the fact that the intersection of $A_i$ and $A_{i+1}$ is nonempty and that all the sets in $\mathcal$ están conectados, pero no sé dónde usar que.

Answer 1

Recordar que un % de espacio (topológico o métricas) $X$está conectado si y sólo si el % de funciones continuas sólo $f:X\to\{0,1\}$son las funciones constantes, donde $\{0,1\}$ está dotado con la métrica discreta.

Ahora consideremos una función continua $f:\cup\mathcal A\to\{0,1\}$ y demostrar que esta función es constante mediante el hecho de que $f$ restringido a cada miembro de $\mathcal A$ es constante (por la cercanía de dichos miembros) más tu hipótesis.

Answer 2

Asumiendo $\{A_i : i\in I\}$ están conectados y $A=\bigcup_{i\in I}A_i$ desconectado , tenemos :

$\bigcup_{i\in I}A_i= M\cup N$ donde $M$ $N$ son distintos bloques abiertos en $\bigcup_{i\in I}A_i$

Veo que usted está familiarizado con la instrucción :

para una fija $i\in I$, $A_i$ está conectado implica $A_i\subset M$ o $A_i\subset N$

como hemos supone $\bigcap_{i\in I}A_i\neq \emptyset$,$p\in \bigcap_{i\in I}A_i$.

Con la pérdida de la generalidad, fix $i\in I$ y asumen $A_i\subset M$.

Ahora, para cualquier $j\in I, j\neq i$, supongamos $A_j\subset N$ esto implicaría que :

$p\in A_i$ ($p\in M$) y $p\in A_j$ ($p\in N$) es decir, $p\in M\cap N$

Pero, asumimos $M\cap N=\emptyset$.

Así, nos encontramos con una contradicción, cuando asumimos que existe $j\in I$ tal que $A_j\subset N$.

Así que, para cualquier $i\in I$ tenemos $A_i\in M$ es decir, $\bigcup_{i\in I}A_i \in M$ Concluyendo que $N=\emptyset$.

Así, no existe la separación de $\bigcup_{i\in I}A_i$ y por lo tanto, está conectado.

Answer 3

Como en su configuración, desde $\bigcup_{A\in\mathcal A}\subseteq U\cup V$ $U,V$ abierto y desunidos. Cada $A$ está conectado, por lo tanto es cualquier subconjunto o $U$ $V$. Asumir $A\subseteq U$ $A$. Escoger una cadena y $B\in \mathcal A$ $A_9,\ldots, A_n$ como en la condición. Por inducción, $A_i\subseteq U$ % todos $i$. De hecho, esto es $i=0$ y $\emptyset \ne A_{i+1}\cap A_i\subseteq U$ concluimos que $A_{i+1}$ $U$ de cruza y por conexión es un subconjunto de $U$. Así, en definitiva, $B=A_n\subseteq U$. Puesto que era arbitrario, $B$ $\bigcup_{A\in\mathcal A}A\subseteq U$ y $V\cap \bigcup_{A\in\mathcal A}A=\emptyset$, es decir, $\bigcup_{A\in\mathcal A}A$ está conectado.