¿Cuáles son las otras soluciones de esta ecuación diferencial, "similares" a $\sin x$ y $e^x$ ?

Question

He estado estudiando electrónica, donde hacen un gran uso de la relación entre las funciones seno y exponencial ( $e^{i \omega t} = \cos{\omega t} + i \sin \omega t)$ . Esta relación me resulta confusa, así que empecé a indagar en ella, y a pensar en que tienen definiciones similares, en términos de ecuaciones diferenciales.

$f(x) = e^x$ es la solución de esta ecuación diferencial:

$$ f'(x) = f(x) $$

y $f(x) = \sin x$ es una solución a esta ecuación similar:

$$ f'(x) = f(x + \pi/2) $$

Quería ver las soluciones de lo siguiente, para otros valores de la constante $k$ .

$$ f'(x) = f(x + k) $$

pero mis habilidades para resolver ecuaciones diferenciales son inexistentes. Así que mi pregunta principal es: ¿Qué son estas funciones y qué aspecto tienen sus gráficas? Una pregunta secundaria es: ¿Sabes cómo escribir el código necesario para resolver esa tercera ED (para algún valor de $k$ ) utilizando sage o wolfram alpha? Tengo sage pero no sé qué escribir.

Answer 1

Todas son soluciones de algún $$ f'' + A f' + B f = 0 $$ con las constantes $A,B.$ Las constantes pueden ser números reales para $e^x, \sin x,$ pero la historia completa les permite complejas como sea necesario.

No te despistes con las ecuaciones diferenciales de primer orden $f'(x) = f(x+k).$ La razón que aparece es que hay identidades para $\sin (x+k)$ y $\cos(x+k).$

Como un simple ejemplo, $$ f'' + 2 f' + 2 f = 0 $$ tiene soluciones $$ e^{-x} \sin x , \; \; e^{-x} \cos x $$ como soluciones (de valor real). Así que su $f(x)$ podría ser $$ f(x) = C e^{-x} \cos x + D e^{-x} \sin x $$ con constantes reales $C,D.$ Tenga en cuenta que el efecto de amortiguación del $e^{-x},$ que dice que cualquier $f$ oscila, pero pasa rápidamente a $0.$ Este es el tipo de fenómeno con el que se trabaja en un sistema de muelle/amortiguador de automóvil.

El similar pero inusual $$ f'' + 2 f' + f = 0 $$ tiene soluciones $$ e^{-x} , \; \; x e^{-x} $$ como soluciones (de valor real). Así que su $f(x)$ podría ser $$ f(x) = C e^{-x} + D x e^{-x} $$ con constantes reales $C,D.$

Answer 2

Hace un año hice una pregunta similar aquí . Así que permítanme generalizar la buena respuesta de GEdgars. Elija un $k$ y considerar

$$f(x):=\sum_n a_n\ \text{e}^{M_n x/k},$$

con algunos números mágicos $M_n$ cumpliendo la relación $\text{e}^{M_n}=M_n/k$ . Estos están relacionados con el Lambert W como se explica en la pregunta que te he enlazado más arriba. A continuación,

$$f(x+k)=\sum_n a_n\ \text{e}^{M_n x/k}\ \text{e}^{M_n}=\sum_n a_n\ \text{e}^{M_n x/k}\ M_n/k=f'(x).$$

Answer 3

Hay una buena razón por la que se ve incapaz de encontrar soluciones en estos últimos casos. Son ejemplos de ecuaciones diferenciales con retardo y tienen una teoría sustancialmente más complicada que la de las ODE.