Límite por todas partes, la función límite es continua, específica de la prueba.

Question

Supongo que $f:[a,b] \to R$ es una función tal que $\lim_{t\to x} f(t) = g(x)$ existe $\forall x \in [a,b]$.

Puede ser demostrado que $g(x)$ es una función continua. Me parece recordar que había una prueba de uso integrabilidad de Riemann.

¿Alguien viene a través de esta prueba? Si es así, ¿qué es?

Answer 1

He tratado de trabajar en esto, y he llegado a una prueba:

Deje $\epsilon' > 0$. Deje $\epsilon = \frac{\epsilon'}{4} > 0$. Como $lim_{t \to x} f(t) = g(x)$, $\exists \delta > 0$ que si $0 < |t - x| < \delta$,$|f(t) - g(x)| < \epsilon$. En primer lugar observamos que si $t,t_2$ son tales que $0 < |t - x| < \delta$$0 < |t_2 - x| < \delta$, $$|f(t) - f(t_2)| < 2\epsilon$$

Ahora, ya hemos establecido que $\exists \delta > 0$ que si $|t - x| < \delta$,$|f(t) - g(x)| < \epsilon$. Además, teniendo en cuenta un punto de $t$ donde $0 < |t - x| < \delta$, sabemos que $\lim_{t_2 \to t} f(t_2) = g(t)$. Por lo tanto, tenemos que $\exists \delta_t > 0$ que si $0 < |t - t_2| < \delta_2$$|f(t_2) - g(t)| < \epsilon$. Deje $\delta'_t = min(\delta_t, \frac{min((|t - (x + \delta)|, |t - (x - \delta)|)}{2})$. Si $0 < |t_2 - t| < \delta'_t$, a continuación, tenga en cuenta que $0 < |t_2 - x| < \delta$ e lo $|f(t) - f(t_2)| < 2\epsilon$. También tenemos que, para un $t$ tal que $0 < |t-x| < \delta$ si $|t_2 - t| < \delta'_t$,$|f(t_2) - g(t)| < \epsilon$$|f(t) - g(x)| < \epsilon$.

Por lo tanto, tenemos que $|f(t_2) - g(t)| + |f(t) - g(x)| < 2 \epsilon$. Por lo tanto, $|f(t_2) - f(t) + g(x) - g(t)| < 2 \epsilon$. Esto significa que $ -2\epsilon < f(t_2) - f(t) - g(t) + g(x) < 2 \epsilon$. Como $|f(t) - f(t_2)| < 2\epsilon$, tenemos que, para $0 < |t-x| < \delta$, $|g(t) - g(x)| < 4 \epsilon = \epsilon'$.

Así, para cualquier $\epsilon' > 0$, $\exists \delta > 0$, de tal forma que si $0 < |t - x| < \delta$,$|g(t) - g(x)| < \epsilon'$. Por lo tanto, $g$ es continua en a $[a,b]$.

Por favor me corrija si mi prueba tiene defectos lógicos. Mi prueba no uso de Riemann de integración, aunque. Aunque puedo imaginar cómo dicha prueba será posible, ya que el intervalo es cerrado y $g$ es continua, será uniformemente continua.