Cambio de base en la ecuación de Schrodinger no lineal

Question

En la media de nivel de campo, la dinámica de un polaritones el condensado puede ser descrito por una de tipo no lineal de la ecuación de Schrödinger (Gross-Pitaevskii-tipo), para una clásica (complejo-número) función de onda $\psi_{LP}$. Su forma en el impulso del espacio dice:

\begin{multline} i \frac{d}{dt}\psi_{LP}(k) =\left[\epsilon(k) -i\frac{\gamma(k)}{2}\right] \psi_{LP}(k) +F_{p}(k)\,\, e^{-i\omega_{p}t} \\ + \sum_{q_1,q_2} g_{k,q_1,q_2}\, \psi^{\star}_{LP}(q_1+q_2-k) \, \psi_{LP}(q_1)\, \psi_{LP}(q_2). \end{multline}

La función de $\epsilon(k)$ es la dispersión de las partículas (polaritons). El polaritons no son un sistema de equilibrio, debido a su duración limitada (amortiguación de la tasa de $\gamma$). Por lo tanto, necesitan el bombeo continuo con la amplitud de la $F_p$ energía $\omega_p$. Por último, existe un impulso dependiente de la interacción no lineal $g_{k,q_1,q_2}$ que depende de los llamados coeficientes de Hopfield $X$ (simples funciones de impulso) como:

\begin{equation} g_{k,q_1,q_2}=g\, X^{\star}(k)\, X^{\star}(q_1+q_2-k)\, X(q_1)\, X(q_2) \end{equation}

¿Cómo se puede transformar la ecuación de $\psi$ a del espacio real?

Answer 1

Los términos lineales parece que usted puede manejar. Como pieza de consejo general, el significado de estos términos son siempre claramente si integrar sobre el impulso de las coordenadas de cada uno de los campos, el uso de funciones delta de preservar el valor. Así, la no-lineal de la expresión $$\sum_{q_1,q_2,q_3} g(q_1,q_2,q_3) \psi(q_1)^*\psi(q_2)\psi(q_3)\delta(-q_1+q_2+q_3 -k)$$

Tal vez también se puede ver de esta manera que la estructura está determinada por el impulso de la conservación/traducción de invariancia. Ahora, cuando me integrar esta por $\int\!dk\,e^{ikr}$, $k$ integral se resuelve trivialmente y yo me quedo con las transformadas de fourier sobre la $q$s. Desde las transformadas de Fourier tomar la multiplicación de convolución, se puede calcular que tenemos $$\int dr_{123}\,\tilde{g}(r-r_1,r-r_2,r-r_3)\tilde{\psi}^*\!(r_1)\tilde{\psi}(r_2)\tilde{\psi}(r_3)$$

Que es más o menos el más general de tercer orden no lineal de término se puede escribir. En su caso también puede reducir este adicional utilizando el espacio real se transforma de $X$, ya sea conectando directamente a la primera ecuación escribí, o mediante el cálculo de $\tilde{g}$ y conectarlo a la segunda.

Answer 2

Aquí está mi intento de respuesta, siguiendo la sugerencia de @Lagerbaer. Primero nos subtitute la transformada de Fourier para $\psi_{LP}(k)$,

\begin{equation} \psi_{LP}(k)=\int dxe^{-ikx}\psi_{LP}(x), \end{equation}

y obtener

\begin{multline} \int dxe^{-ikx}i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{-ikx}\psi_{LP}(x)\\+F_{p}(k)\,\, e^{-i\omega_{p}t} +\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\\ \times \sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2}). \end{multline}

Con el fin de simplificar esta expresión, tenemos que aplicar la inversa de la transformación a ambos lados (multiplicar por $\int dke^{ikx}$), la obtención de

\begin{multline} i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dk\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{ik(x-x^{\prime})}+F_{p}e^{i(k_{p}x-\omega_{p}t)}\\ +\int dke^{ikx}\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\\ \times\sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2}). \end{multline}

Ahora nos fijamos en una integral de la forma $\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkf(k)e^{ik(x-x^{\prime})}$, para una función genérica $f(k)$. Ampliamos nuestra función genérica en una Serie de Taylor alrededor de $k=0$, y obtener:

\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkk^{n}e^{ik(x-x^{\prime})}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\left(-i\right)^{n}\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\partial_{x}^{n}\delta(x-x^{\prime}) \end{equation}

donde hemos utilizado la conocida relación $\int dkk{}^{n}e^{ik(x-x^{\prime})}=\left(-i\right)^{n}\partial_{x}^{n}\delta(x-x^{\prime})$.

Mover el operador de la derivada para actuar en $\psi$ (integración por partes), se obtiene finalmente

\begin{equation} \int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkf(k)e^{ik(x-x^{\prime})}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(i\partial_{x})^{n}\psi_{LP}(x)=f(i\partial_{x})\psi_{LP}(x) \end{equation}

Por lo tanto, el primer término en el lado derecho de la ecuación se simplifica a $\left[\epsilon(i\partial_{x})-i\frac{\gamma(i\partial_{x})}{2}\right]\psi_{LP}(x)$ y nos queda tratar con el término de interacción.

\begin{equation} \int dx_{3}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\int dx_{1}\psi_{LP}(x_{1})\int dq_{1}e^{iq_{1}(x_{3}-x_{1})}\int dx_{2}\psi_{LP}(x_{2})\int dq_{2}e^{iq_{2}(x_{3}-x_{2})}\int dkg(k,q_{1},q_{2})e^{ik(x-x_{3})} \end{equation}

La sustitución de la forma de $g(k,q_{1},q_{2})$, obtenemos

\begin{equation} g\int dx_{3}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\int dx_{1}\psi_{LP}(x_{1})\int dq_{1}X(q_{1})e^{iq_{1}(x_{3}-x_{1})}\int dx_{2}\psi_{LP}(x_{2})\int dq_{2}X(q_{2})e^{iq_{2}(x_{3}-x_{2})}\int dk\, X^{\star}(k)\, X^{\star}(q_{1}+q_{2}-k)\, e^{ik(x-x_{3})} \end{equation}

Y aquí es donde me quedé atrapado..