Ley de Faraday para un bucle de corriente que se deforma

Question

Estoy trabajando en el texto de Electrodinámica Clásica de Jackson (3ª versión, capítulo 5.15) sobre la ley de Faraday:

La ley de Faraday es bastante conocida:

$\int_c E \cdot dl = -\frac{d}{dt}(\int_s B \cdot n da)$

que establece que la integral de contorno del campo eléctrico alrededor de una superficie delimitada es igual a la tasa de cambio temporal negativa del flujo delimitado por dicha superficie. No hay problema. Aquí tenemos una derivada total y Jackson aborda 2 casos.

"El flujo a través del circuito puede cambiar porque (a) el flujo cambia con el tiempo en un punto, o (b) la traslación del circuito cambia la ubicación del límite"

En cualquiera de estos casos, es fácil demostrarlo:

$\frac{d}{dt}(\int_s B \cdot n da) = \int_s(\frac{\partial B}{\partial t} \cdot n da) + \int_c(B \times v)\cdot dl$

utilizando $\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + v \cdot \nabla$ y luego aplicar una "regla del producto", $\nabla \cdot B = 0$ y el teorema de Stokes, es decir:

$\frac{d}{dt}\int_s B \cdot n da = \frac{\partial}{\partial t}\int_s B \cdot n da + (v \cdot \nabla) \int_s B \cdot n da$

En el caso de que la superficie sea constante podemos intercambiar el orden de diferenciación e integración:

$\frac{d}{dt}\int_s B \cdot n da = \int_s \frac{\partial}{\partial t} B \cdot n da + \int_s (v \cdot \nabla) B \cdot n da$

Sigo sin tener problemas con esto. Ahora podemos trabajar en el segundo término de la derecha (aplicar una regla de producto, eliminar los términos con $\nabla \cdot B$ y luego aplicar el teorema de Stokes) para obtener el $\int_c(B \times v)\cdot dl$ plazo.

que aplicado a la ley de Faraday da el bonito resultado:

$\int_c [ E' - (v \times B)] \cdot dl = - \int_s \frac{\partial B}{\partial t} \cdot n da$

El problema surge cuando se permite que la forma de la superficie delimitada cambie. (Considere un bucle de alambre circular en un campo magnético que luego golpea con un martillo causando una abolladura en un lado). ¿Cómo influye el cambio de la superficie en el resultado que hemos obtenido anteriormente? Me parece que esto nos impediría poder intercambiar el orden de diferenciación e integración, lo que parece que nos deja en un aprieto...

Answer 1

La Ley de Faraday puede darse en forma diferencial como sigue en términos del campo eléctrico $\mathbf E$ y el campo magnético $\mathbf B$ especificado en un marco inercial: $$ \nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}. $$ Como observas, esto se puede reescribir como una ecuación integral, pero la versión integral correspondiente adopta diferentes formas dependiendo de lo general que uno quiera que sea. Me referiré a la configuración totalmente general que te interesa, en la que la espira alrededor de la cual se calcula el CEM tiene una dependencia temporal arbitraria. Esto incluye, por ejemplo, que la superficie correspondiente que es el límite de ser deformado en formas bastante impar, como ser "abollado".

Para cada tiempo $t$ Considera alguna superficie $\Sigma_t$ con límite $C_t$ . Asumimos que todas las suposiciones matemáticas que los físicos no suelen enunciar explícitamente se mantienen, de modo que los siguientes cálculos son verdaderos, por ejemplo, que $\Sigma_t$ es orientable. Podemos integrar ambos lados de la forma diferencial de la ley de Faraday sobre la superficie $\Sigma_t$ y utilizar el teorema de Stokes en el lado izquierdo para obtener \begin{align} \int_{C_t}\mathbf E\cdot d\boldsymbol \ell = -\int_{\Sigma_t}\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \cdot d\mathbf a \end{align} Ahora, su pregunta es

Si $\Sigma_t$ constituye alguna familia de superficies con una variación suficientemente suave pero con una dependencia temporal por lo demás arbitraria, ¿qué términos adicionales resultan cuando intentamos tomar la derivada del tiempo fuera de la integral en el lado derecho de la ecuación integral anterior?

Ahora hago lo siguiente

Reclamación. Dejemos que $\mathbf v$ denotan la velocidad de cada punto del bucle $C_t$ que será una función del tiempo, y la ubicación del punto, entonces \begin{align} \int_{\Sigma_t}\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\cdot d\mathbf a &= \frac{d}{dt}\int_{\Sigma_t}\mathbf B\cdot d\mathbf a + \int_{C_t} \mathbf v\times\mathbf B \cdot d\boldsymbol\ell \end{align} Como resultado de esta afirmación, la forma integral más general de la Ley de Faraday para una superficie arbitrariamente dependiente del tiempo es la siguiente: \begin{align} \int_{C_t}\mathbf (\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)\cdot d\boldsymbol \ell = - \frac{d}{dt}\int_{\Sigma_t}\mathbf B\cdot d\mathbf a. \end{align} La expresión del lado izquierdo es el CEM alrededor de la espira $C_t$ (ya que por definición la FEM es el trabajo realizado por unidad de carga por los campos electromagnéticos al rodear la espira, y el integrando escrito aquí es la fuerza de Lorentz por unidad de carga), y la expresión de la derecha es la tasa de cambio del flujo a través de la superficie $\Sigma_t$ cuyo límite es $C_t$ .

Demostremos la afirmación anterior que nos permite tomar la derivada del tiempo fuera de la integral incluso en el caso de alguna superficie/bucle que varíe arbitrariamente en el tiempo.

Prueba de reclamación.

Observamos que, dado que $\nabla\cdot\mathbf B = 0$ existe (bajo suposiciones topológicas adecuadas que asumimos que son ciertas aquí) algún campo vectorial $\mathbf A$ para lo cual $\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$ . De ello se desprende que \begin{align} \int_{\Sigma_t}\mathbf B\cdot d\mathbf a &= \int_{\Sigma_t}\nabla\times\mathbf A\cdot d\mathbf a = \int_{C_t}\mathbf A\cdot d\boldsymbol \ell \end{align} Ahora, estamos tras la derivada temporal de la integral de flujo de la izquierda que, por este cálculo, es igual a la derivada temporal de la integral de línea del potencial vectorial alrededor de $C_t$ . Para facilitar la realización de esta integral, parametrizamos la curva $C_t$ para eliminar la dependencia temporal de los límites de integración. En particular, para cada tiempo $t$ , dejemos que $\boldsymbol \gamma(t,\lambda)$ denotan una parametrización de $C_t$ que atraviesa $C_t$ una vez que la gamma se extiende a través del intervalo $[0,1]$ . Entonces la integral de línea del potencial vectorial puede escribirse como \begin{align} \int_{C_t}\mathbf A\cdot d\boldsymbol\ell = \int_0^1 \mathbf A(t, \boldsymbol\gamma(t,\lambda))\cdot\frac{\partial\boldsymbol\gamma}{\partial t}(t,\lambda) d\lambda \end{align} juntando estas dos últimas ecuaciones, y tomando la derivada temporal de ambos lados, obtenemos \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{\Sigma_t}\mathbf B\cdot d\mathbf a &= \int_0^1 \left(\frac{\partial A_i}{\partial t}\cdot\frac{\partial\gamma_i}{\partial\lambda}+\frac{\partial\boldsymbol\gamma}{\partial t}\cdot \nabla A_i\frac{\partial\gamma_i}{\partial \lambda}+A_i\frac{\partial^2\gamma_i}{\partial t\partial\lambda}\right)d\lambda\\ &= \int_0^1 \frac{\partial A_i}{\partial t}\cdot\frac{\partial\gamma_i}{\partial\lambda}d\lambda + \int_0^1 \left(\frac{\partial\boldsymbol\gamma}{\partial t}\cdot \nabla A_i\frac{\partial\gamma_i}{\partial \lambda}+A_i\frac{\partial^2\gamma_i}{\partial t\partial\lambda}\right)d\lambda \\ &=\int_{C_t} \frac{\partial\mathbf A}{\partial t}\cdot d\boldsymbol\ell + \int_0^1 \left(\frac{\partial\boldsymbol\gamma}{\partial t}\cdot \nabla A_i\frac{\partial\gamma_i}{\partial \lambda}+A_i\frac{\partial^2\gamma_i}{\partial t\partial\lambda}\right)d\lambda\\ &= \int_{\Sigma_t}\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\cdot d\mathbf a + \int_0^1 \frac{\partial\boldsymbol\gamma}{\partial t}\cdot \nabla A_i\frac{\partial\gamma_i}{\partial \lambda} d\lambda + \int_0^1 A_i\frac{\partial^2\gamma_i}{\partial t\partial\lambda}d\lambda \end{align} Centrémonos en la última integral de la derecha. Usando la integración por partes en esa integral, y usando el hecho de que el término de frontera desaparece porque la curva sobre la que estamos haciendo la integral de línea es cerrada, y usando la regla de la cadena \begin{align} \frac{\partial}{\partial\lambda} A_i(t, \boldsymbol\gamma(t,\lambda)) &= \nabla A_i(t,\boldsymbol\gamma(t,\lambda))\cdot \frac{\partial\boldsymbol\gamma}{\partial\lambda}(t,\lambda) \end{align} obtenemos \begin{align} \int_0^1 A_i\frac{\partial^2\gamma_i}{\partial t\partial\lambda}d\lambda &= -\int_0^1 \frac{\partial\gamma_i}{\partial t} \nabla A_i\cdot \frac{\partial\boldsymbol\gamma}{\partial\lambda}d\lambda \end{align} para que \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{\Sigma_t} \mathbf B\cdot d\mathbf a &= \int_{\Sigma_t} \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\cdot d\mathbf a + \int_0^1 \left(\frac{\partial\boldsymbol\gamma}{\partial t}\cdot \nabla A_i\frac{\partial\gamma_i}{\partial \lambda} - \frac{\partial\gamma_i}{\partial t} \nabla A_i\cdot \frac{\partial\boldsymbol\gamma}{\partial\lambda}\right) d\lambda \end{align} Ahora, si hacemos las identificaciones notacionales apropiadas \begin{align} \mathbf v = \frac{\partial\boldsymbol\gamma}{\partial t}, \qquad d\boldsymbol \ell = \frac{\partial\boldsymbol\gamma}{\partial\lambda} d\lambda \end{align} y si tomamos nota de la siguiente identidad vectorial \begin{align} \mathbf v\times\mathbf B = (v_j\partial_i A_j - v_j\partial_jA_i)\mathbf e_i \end{align} entonces obtenemos \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{\Sigma_t} \mathbf B\cdot d\mathbf a &= \int_{\Sigma_t} \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\cdot d\mathbf a -\int_{C_t} \mathbf v\times\mathbf B\cdot d\boldsymbol \ell \end{align} que es simplemente una reorganización de la demanda.

Nota. La afirmación que acabamos de mencionar es en realidad un caso especial de la Regla integral de Leibniz (Ver la respuesta de Art a esta pregunta) cuando el campo vectorial considerado tiene divergencia evanescente. Si quieres, podría dar una prueba de la regla general también, pero es realmente innecesario ya que el campo magnético tiene, de hecho, divergencia cero.

Answer 2

Después de un par de salidas en falso (¡lo siento!):

Creo que el enfoque de Jackson asume una forma de bucle fija. Aquí hay otro enfoque:

Para simplificar, consideremos un caso en el que el campo B es independiente del tiempo en el marco del laboratorio. Entonces el campo eléctrico será 0. Sin embargo, cuando la espira C se abolla, los electrones de la sección abollada experimentarán un $v \times B$ La fuerza de Lorentz y una emf se generarán.

Esa es la imagen física. Matemáticamente, la espira C se describe mediante una curva cerrada que depende del tiempo (como resultado de la abolladura). Al diferenciar el flujo adjunto (6.4), hay dos términos (dos variaciones de primer orden):

1. La tasa de cambio de flujo con una constante C (es decir, la debida al cambio de B, que es cero en este caso).

2. La tasa de cambio en el flujo debido al cambio en C, suponiendo que B es constante. Este término da la fuerza de Lorentz identificada anteriormente.

Actualización: La matemática detrás de este argumento es la Regla integral de Leibniz , específicamente la subsección sobre el caso tridimensional, dependiente del tiempo. Es "sólo" el equivalente en una dimensión superior de la regla para diferenciar una integral definida cuando los límites son una función de la variable diferenciadora.

Obsérvese que habría un tercer término "fuente", salvo que $\boldsymbol{\nabla \cdot B}=0$ .