Naturaleza de la serie $\sum\limits_{n}(g_n/p_n)^\alpha$ con $(p_n)$ primos y $(g_n)$ brechas principales

Question

Sea $p_n$ denotan el $n$ número primo y $g_n=p_{n+1}-p_n$ el $n$ de números primos. Se trata de preguntar para qué valores de $\alpha$ la serie $S_\alpha$ converge o diverge, donde $$S_\alpha=\sum_n\left(\frac{g_n}{p_n}\right)^\alpha.$$

Contexto:

• El límite inferior obvio $g_n\geqslant1$ muestra que $S_\alpha$ diverge para cada $\alpha\leqslant1$ .
• Se sabe (véase la página WP ) que $g_n\lt (p_n)^\theta$ para cada $n$ para cada $\theta\gt\frac34$ Por lo tanto $S_\alpha$ converge para cada $\alpha\gt4$ .
• Varios resultados no demostrados, como la conjetura de Cramér de que $g_n=O\left((\log p_n)^2\right)$ implicaría que $S_\alpha$ es finito si y sólo si $\alpha\gt1$ .
• Una respuesta para $\alpha=2$ resolvería (y de hecho sería equivalente a una solución de) esta otra pregunta .

Edit : La respuesta de @GregMartin a continuación produce naturalmente el resultado más general de que la serie $$S_{\alpha,\beta}=\sum_n\frac{g_n^\beta}{p_n^\alpha}$$ converge para cada $$\alpha\gt\max\{1,\tfrac5{18}\beta+\tfrac{13}{18}\}.$$ Por ejemplo, dos series convergentes son $$\sum_n\frac{g_n^2}{p_n^{4/3}},\qquad\sum_n\frac{g_n^4}{p_n^2}.$$ En realidad, un control asintótico $$ \sum_{n\colon p_n \le x} g_n^2 \leqslant x^{1+\gamma}, $$ para algunos $\gamma$ en $(0,1)$ (siendo el resultado de Heath-Brown utilizado por @GregMartin el caso de cada $\gamma\gt\frac5{18}$ ) se obtendría la convergencia de $S_{\alpha,\beta}$ para cada $(\alpha,\beta)$ tal que $$\alpha-1\gt\gamma\cdot(\beta-1)_+.$$

Answer 1

La serie converge para cada $\alpha>1$ .

Aunque todavía no conocemos bien las carencias de los primos, sí conocemos mejor las carencias medias. Supongamos que tenemos una estimación de la forma $$ \sum_{n\colon p_n \le x} g_n^2 \ll x^{2-\delta} \tag{$ \ast $} $$ para algunos $\delta>0$ . Entonces para cualquier $\alpha>1$ podemos argumentar, utilizando la desigualdad de Hölder: \begin{align*} \sum_{n\colon x/2<p_n\le x} \frac{g_n^\alpha}{p_n^\alpha} &\ll \frac1{x^\alpha} \sum_{n\colon x/2<p_n\le x} g_n^\alpha \\ &\le \frac1{x^\alpha} \bigg( \sum_{n\colon x/2<p_n\le x} g_n^2 \bigg)^{\alpha-1} \bigg( \sum_{n\colon x/2<p_n\le x} g_n \bigg)^{2-\alpha} \\ &\ll \frac1{x^\alpha} \big( x^{2-\delta} \big)^{\alpha-1} (x)^{2-\alpha} = x^{-\delta(\alpha-1)}. \end{align*} (Utilizamos el hecho de que la suma de los propios huecos, de todos los primos entre $a$ y $b$ es sólo $b-a$ hasta un hueco primo en cada extremo). Por lo tanto $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{g_n^\alpha}{p_n^\alpha} = \sum_{k=1}^\infty \sum_{n\colon 2^{k-1}<p_n\le 2^k} \frac{g_n^\alpha}{p_n^\alpha} \ll \sum_{k=1}^\infty 2^{-k\delta(\alpha-1)} \ll 1, $$ por lo que la serie converge.

Afortunadamente, sabemos $(\ast)$ ; en efecto, Heath-Brown ha establecido la versión más fuerte $$ \sum_{n\colon p_n \le x} g_n^2 \ll x^{23/18+\varepsilon}. $$