Una pregunta sobre medida en $\mathbb{R}^2$

Question

Que $\mu$ sea una medida de Borel localmente finita en $\mathbb{R}^2$ y para cada $r\in \mathbb{R}^+$, $\mu(B(x,2r))<C\mu(B(x,r))$ $C\in \mathbb{R}$, donde $B(x,r)$ es euclidiana bola abierta en $x$ $r$ de diámetro.

Cómo demuestran que cada línea recta en $\mathbb{R}^2$ $\mu$ nulo juego.

Answer 1

Este es un bonito problema de la teoría geométrica de la medida, solucionable por elemental manipulaciones.

Se puede empezar por la actualización de la hipótesis de a $\mu(B(x,3r))\leqslant C\mu(B(x,r))$ por cada $x$$r$, para algunos positivo finito $C$.

A continuación, considere los puntos de $x=(0,1)$$y=(0,-1)$. El balón $B(x,1)$ es un subconjunto de la bola de $B(y,3)$ por lo tanto $\mu(B(x,1))\leqslant\mu(B(y,3))\leqslant C\mu(B(y,1))$.

Más en general, cualquiera de los dos puntos de $x\ne y$ son tales que $\mu(B(x,r))\leqslant C\mu(B(y,r))$$r=\frac12\|x-y\|$.

Considere ahora$I=(0,1)\times\{0\}$$R(n)=(0,1)\times(\frac1{2n},\frac3{2n})$, para cada entero positivo $n$. Por lo tanto $I$ es una unidad de intervalo horizontal y cada una de las $R(n)$ un rectángulo del tamaño de la $1\times\frac1n$. A continuación, $I$ está incluido en la inconexión de la unión de la $n$ bolas $B_k^n=B(x_k^n,\frac1{2n})$ donde $x_k^n=(\frac{2k-1}{2n},0)$ $R(n)$ contiene la inconexión de la unión de la $n$ bolas $\bar B_k^n=B(\bar x_k^n,\frac1{2n})$ donde$\bar x_k^n=(\frac{2k-1}{2n},\frac1n)$$1\leqslant k\leqslant n$.

Para cada $k$, las bolas $B_k^n$ $\bar B_k^n$ se centran en los puntos a una distancia del doble de su radio. Por lo tanto, sumando los aportes de los rendimientos de $C\mu(R(n))\geqslant C\sum\limits_{k=1}^n\mu(\bar B_k^n)\geqslant\sum\limits_{k=1}^n\mu(B_k^n)\geqslant\mu(I)$.

Escojamos algunos secuencia de enteros $(n_i)_i$ de manera tal que los rectángulos $R(n_i)$ son distintos, por ejemplo, $n_i=3^i$ por cada $i\geqslant1$. Dado que todos los $R(n_i)$ está incluido en el rectángulo $Q=(0,1)\times(0,\frac12)$, los rendimientos de $\mu(Q)\geqslant\sum\limits_{i\geqslant1}\mu(R(n_i))\geqslant C\sum\limits_{i\geqslant1}\mu(I)$. La única manera de $\mu(Q)$ puede ser finito es si $\mu(I)=0$.

Del mismo modo, la medida de cada intervalo es cero y, por contables de la unión, por lo que es la medida de cada línea.

Answer 2

Bien, puede cubrir cualquier tramo finito de la línea con una bola. Entonces puede cubrir otra vez con 2 bolas del medio radio y así sucesivamente. Es cuando se utiliza la desigualdad que tiene que demostrar que realmente la sección finita tiene medida 0.

Utilizar que una Unión contable de conjuntos de null es null para obtener el resultado de toda la línea.