¿Cómo podemos probar $\int_1^\pi x \cos(\frac1{x}) dx<4$ de mano?

Question

Hay alguna manera podemos probar esta desigualdad de integral definida a mano: $$ \int_{1}^{\pi}x\cos\left(1 \over x\right) \, {\rm d} x < 4 $$ no dónde empezar, por favor ayuda. Que $\displaystyle\cos\left(1 \over x\right)\ \leq\ 1$ no parece ayudar ya $\displaystyle\int_{1}^{\pi}x\,{\rm d}x\ >\ 4$.

Answer 1

Sugerencia:

$$\begin{align} \int_1^\pi x \cos(\frac1{x})dx&=\int_{1}^{1/\pi}\frac{\cos{u}}{u}\left(-\frac{du}{u^2}\right)\\ &=\int_{1/\pi}^{1}\frac{\cos{u}}{u^3}du\\ &\leq\int_{1/\pi}^{1}\frac{1-\frac12u^2+\frac{1}{24}u^4}{u^3}du \end {Alinee el} $$

Answer 2

En primer lugar

$$\int_{x=1}^\pi xcos\frac{1}{x}dx=\int_{t=1}^\frac{1}{\pi} \frac{1}{t}*cos(t)*\frac{-1}{t^2}dt$$

A continuación tenemos $$cos(t) < 1 - \frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}$ $

Por lo tanto, la integral dada es menor

$$\int_{t=1}^\frac{1}{\pi} \frac{-1}{t^3}(1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24})dt=3.8811597.. $$

Answer 3

La integral de x dx solo es un poco mayor que 4. Para x < pi, cos (1 / x) no es sólo ≤ 1. De ≤ cos (1/pi). Para x ≤ 2, de ≤ cos (1/2).

Answer 4

En el intervalo de $1/\pi$ $1$ función $\cos(x)$ pueden limitar desde arriba por la línea tangente. $ \cos(x) \leq (\cos (x) | _ {\pi/6}) (x - \frac{\pi}{6}) + \cos(\pi/6) = - \frac{1}{2} (x - \frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{6}). $$ Por lo tanto la integral \int_1^\pi $$ x \; \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq \int_1^\pi x \left (-\frac{1}{2} \left (\frac {1} {x} - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) $$ la última integral puede calcularse fácilmente con la mano y es igual a $\approx 3.93...$