Límite con pecado indeterminado

Question

¿Cómo se calcula el límite siguiente?

$$\lim_{x\to\infty} \frac{3x-\sin x}{x+\sin x}$$

Es un límite indeterminado, pero ¿cómo puedo resolverlo? ¿Ayuda si lo divido? La respuesta que obtuve es $-1$ pero es $3$ .

Answer 1

Pista: dividir numerador y denominador por $x$ .

Answer 2

Sólo para variar, sin dividiendo por $x$ ,

$$\frac{3x - \sin x}{x + \sin x} = \frac{3(x+ \sin x) - 4\sin x}{x + \sin x} = 3 - \frac{4\sin x}{x + \sin x}$$

Para la segunda expresión, el numerador está acotado mientras que el denominador tiende a infinito positivo, por lo que $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{4\sin x}{x + \sin x} = 0$ por lo que el límite original es $3$ .

Answer 3

Uno tiene

$$0\leq\left\vert{\sin{x}\over x}\right\vert\leq{1\over |x|}$$

Y así ${\sin{x}\over x}\to 0$ como $x\to\infty$ . Ahora en la fracción divide el numerador y el denominador por $x$ para obtener

$${3-{\sin{x}\over x}\over 1-{\sin{x}\over x}}\to 3$$

Answer 4

$$\lim_{x\to \infty} \frac{3x-\sin x}{x+\sin x}=\lim_{x\to \infty} \frac{3-\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\sin x}{x}}$$

et $\sin x$ está limitada en $\mathbb{R}$