El determinante de un operador es igual al producto de los determinantes de sus restricciones

Question

Consideremos las siguientes definiciones y teoremas demostrados

Definiciones

$1$ . El campo $\Bbb{F}$ es $\Bbb{R}$ o $\Bbb{C}$ .

$2$ . $V$ es un espacio vectorial sobre $\Bbb{F}$ .

$3$ . $\mathcal{L}(V)$ es el espacio vectorial de todos los operadores sobre $V$ (es decir, mapas lineales $V \to V$ ) y $T \in \mathcal{L}(V)$ .

$4$ . $T|_{U}$ es la restricción de $T$ al subespacio invariante $U$ .

$5$ . $G(\lambda_i,T)$ es el espacio propio generalizado de $T$ correspondiente al valor propio $\lambda_i$ . La multiplicidad de $\lambda_i$ se define como $d_i=\dim G(\lambda_i,T)$ .

$6$ . Si $\Bbb{F}=\Bbb{C}$ entonces $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$ son valores propios distintos de $T$ . Si $\Bbb{F}=\Bbb{R}$ entonces $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$ son valores propios distintos de la complejización de $T$ denotado por $T_{\Bbb{C}}$ . Entonces $\det T = \lambda_1^{d_1}\cdots\lambda_m^{d_m}$ donde cada $d_i$ es la multiplicidad de $\lambda_i$ .

Teoremas demostrados

$1$ . Supongamos que $V$ es un espacio vectorial sobre $\Bbb{C}$ y $T \in \mathcal{L}(V)$ . Sea $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$ son valores propios distintos de $T$ . T $V=G(\lambda_1,T) \oplus \cdots \oplus G(\lambda_m,T)$ donde cada $G(\lambda_i,T)$ es invariante bajo $T$ . Además, $\dim V = d_1+\cdots+d_m$ donde $d_i$ es la multiplicidad de $\lambda_i$ .

Ahora, quiero demostrar el siguiente teorema sólo usando las herramientas anteriores. Cualquier pista o ayuda es apreciada.

Pregunta

Si $T \in \mathcal{L}(V)$ y $V=V_1 \oplus \cdots \oplus V_M$ con cada $V_j,\,j=1,\cdots,M$ invariante bajo $T$ entonces $\det T = \det T|_{V_1} \cdots \det T|_{V_M}$ .

Este problema se produjo en ejemplo $10.28$ del libro Álgebra lineal bien hecha . Sólo había una frase para probarlo en el texto.

Dado que las dimensiones de los espacios propios generalizados en $V_j$ suman $\dim V$ .

¡pero no lo entiendo!

Answer 1

Motivado por la respuesta de Fei Li, yo creo que el siguiente es el principal punto clave para demostrar este teorema.

$$\begin{align} V &= {\Large\oplus}_{i=1}^{m}G(\lambda_i,T) ={\Large\oplus}_{i=1}^{m}\left[{\Large\oplus}_{j=1}^{M}G(\lambda_i,T|_{V_j})\right] ={\Large\oplus}_{j=1}^{M}\left[{\Large\oplus}_{i=1}^{m}G(\lambda_i,T|_{V_j})\right] \\ &={\Large\oplus}_{j=1}^{M}V_j \end{align} \tag{1}$$

donde hemos utilizado la conmutatividad y asociatividad de las sumas directas y la siguiente identidad importante

$$G(\lambda_i,T)={\Large\oplus}_{j=1}^{M}G(\lambda_i,T|_{V_j}) \tag{2}$$

De este modo, tampoco necesitamos una notación demasiado complicada. No doy una prueba completa de $(2)$ pero mencionaré las cosas que uno necesita para probarlo. Teoremas $1$ a través de $4$ se mencionan para concluir el teorema $5$ .

Teorema 1 . Si $T \in \mathcal{L}(V)$ y $\lambda \in \Bbb{F}$ y $V_j$ es un subespacio de $V$ invariante bajo $T$ t $$G(\lambda,T|_{V_j}) = \{v_j \in V_j : \exists k, \, (T|_{V_j}-\lambda I|_{V_j})^{k}v_j=0\}$$

Teorema 2 . Si $T \in \mathcal{L}(V)$ y $\lambda \in \Bbb{F}$ y $V_j$ es un subespacio de $V$ invariante bajo $T$ entonces $V_j$ también es invariante bajo $\lambda T$ y $$\lambda (T |_{V_j})=(\lambda T) |_{V_j}$$

Teorema 3 . Si $T_p \in \mathcal{L}(V), \, p=1,2,\cdots,n$ y $V_j$ es un subespacio de $V$ invariante bajo cada $T_p, \, p=1,2,\cdots,n$ entonces $V_j$ también es invariante bajo $\sum_{p=1}^{n}T_p$ y $$\sum_{p=1}^{n}T_p|_{V_j}=(\sum_{p=1}^{n}T_p)|_{V_j}$$

Teorema 4 . Si $T_p \in \mathcal{L}(V), \, p=1,2,\cdots,n$ y $V_j$ es un subespacio de $V$ invariante bajo cada $T_p, \, p=1,2,\cdots,n$ entonces $V_j$ también es invariante bajo ${\LARGE\circ}_{p=1}^{n}T_p$ y $${\LARGE\circ}_{p=1}^{n}T_p|_{V_j}=({\LARGE\circ}_{p=1}^{n}T_p)|_{V_j}$$

Teorema 5 . Si $T \in \mathcal{L}(V)$ y $\lambda \in \Bbb{F}$ y $V_j$ es un subespacio de $V$ invariante bajo $T$ entonces $V_j$ también es invariante bajo $(T-\lambda I)^{k}$ y $$G(\lambda,T|_{V_j}) = \{v_j \in V_j : \exists k, \, (T-\lambda I)^{k}|_{V_j}v_j=0\}$$

Teorema 6 . Si $T \in \mathcal{L}(V)$ y $\lambda \in \Bbb{F}$ y $V={\Large\oplus}_{j=1}^{M}V_j$ con cada $V_j,\,j=1,\cdots,M$ invariante bajo $T$ entonces $\sum_{j=1}^{M}G(\lambda,T|_{V_j})$ es una suma directa.

Ahora, conociendo los teoremas anteriores, es fácil demostrar lo que queríamos

Teorema 7 . Si $T \in \mathcal{L}(V)$ y $\lambda \in \Bbb{F}$ y $V={\Large\oplus}_{j=1}^{M}V_j$ con cada $V_j,\,j=1,\cdots,M$ invariante bajo $T$ t $$G(\lambda,T)={\Large\oplus}_{j=1}^{M}G(\lambda,T|_{V_j})$$

Answer 2

Esbozo de la prueba

Según la teorema demostrado para $V_1$ y $T|_{V_1}\in\mathcal{L}(V_1)$ tenemos

$$V_1=G(\lambda_1^1,T|_{V_1})\oplus\cdots\oplus G(\lambda_{n_1}^1,T|_{V_1}),\tag{1}$$

donde el " $1$ " en la parte superior derecha de $\lambda$ indica $V_1$ . Así $\lambda_1^1,\ldots,\lambda_{n_1}^1$ son valores propios distintos de $T|_{V_1}$ . Según definición $6$ , $$\det(T|_{V_1})=(\lambda_1^1)^{d_1^1}\cdots(\lambda_{n_1}^1)^{d_{n_1}^1},\tag{2}$$ donde $d_1^1,\ldots,d_{n_1}^1$ son multiplicidades de los valores propios correspondientes.

Del mismo modo, para $V_2$ y $T|_{V_2}\in\mathcal{L}(V_2)$ tenemos

$$V_2=G(\lambda_1^2,T|_{V_2})\oplus\cdots\oplus G(\lambda_{n_2}^2,T|_{V_2}).\tag{3}$$

$\lambda_1^2,\ldots,\lambda_{n_2}^2$ son valores propios distintos de $T|_{V_2}$ . Según la definición $6$ , $$\det(T|_{V_2})=(\lambda_1^2)^{d_1^2}\cdots(\lambda_{n_2}^2)^{d_{n_2}^2},\tag{4}$$ donde $d_1^2,\ldots,d_{n_2}^2$ son de nuevo multiplicidades de los valores propios correspondientes.

$\vdots$

Siguiendo así, tenemos

$$V_M=G(\lambda_1^M,T|_{V_M})\oplus\cdots\oplus G(\lambda_{n_M}^M,T|_{V_M}).\tag{5}$$

$\lambda_1^M,\ldots,\lambda_{n_M}^M$ son valores propios distintos de $T|_{V_M}$ y $$\det(T|_{V_M})=(\lambda_1^M)^{d_1^M}\cdots(\lambda_{n_M}^M)^{d_{n_M}^M},\tag{6}$$ donde $d_1^M,\ldots,d_{n_M}^M$ son multiplicidades de los valores propios correspondientes.

Ahora,

$\begin{matrix}(\det T|_{V_1})(\det T|_{V_2})\cdots(\det T|_{V_M})\\ =\left[(\lambda_1^1)^{d_1^1}\cdots(\lambda_{n_1}^1)^{d_{n_1}^1}\right]\left[(\lambda_1^2)^{d_1^2}\cdots(\lambda_{n_2}^2)^{d_{n_2}^2}\right]\cdots \left[(\lambda_1^M)^{d_1^M}\cdots(\lambda_{n_M}^M)^{d_{n_M}^M}\right] .\end{matrix}\tag{7}$

Desde $V$ tiene valores propios $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_m\}$ los valores propios anteriores son todos del conjunto $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_m\}$ . Así que podemos recoger todos $\lambda_1$ en $(7)$ y agruparlos, obteniendo $\lambda^{d_1}$ . Tenga en cuenta que $d_1$ es precisamente la multiplicidad de $\lambda_1$ en $V$ ni más ni menos. Del mismo modo, después de elegir $\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ y agruparlos, la ecuación anterior es igual a $(\lambda_1)^{d_1}(\lambda_2)^{d_2}\cdots(\lambda_m)^{d_m}$ que es $\det T$ . $\blacksquare$