Semejanza del problema del triángulo

Question

Dado: AD & PS son medianas en ΔABC y ΔPQR respectivamente,
$$\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PS}=\frac{AC}{PR}$$

Para Probar: ΔABC ~ ΔPQR

Figura:

Problema: En ΔABD & ΔPQS o en ΔADC & ΔPSR o en ΔABC & ΔPQR, sólo he encontrado que sólo dos de los lados son proporcionales, pero no puede entender-out tercera cosa para demostrar la similitud.

Que me ayude Plz.

Answer 1

Crear un punto A' en la dirección de AD, que DA'= AD. Entonces es un paralelogramo ABA'C. Entonces es paralelogramo PQP'R.

Y AD/PS = AA'/ PP',
Así, AB/PQ = AA'/ PP'= AC/PR.
=> ΔABA' ~ ΔPQP'
=> ∠BAD = ∠QPS
Por lo tanto es ∠CAD = ∠RPS
Entonces ∠BAC = ∠QPR
=> ΔABC ~ ΔPQR
(Q.E.D.)

Answer 2

Podemos utilizar un caso especial de Stewart del Teorema, que no trigonométricas prueba recientemente discutidos en el Intercambio de la Pila.

Por lo tanto, escribir un boceto de un trigonométricas prueba del resultado, en el conocimiento de que la trigonometría puede ser eliminado.

Para hacer nuestra vida más fácil, así que no tenemos que trabajar con las proporciones, la escala de uno de los triángulos para hacer $AB=PQ$. Los otros lados que estaban en la misma proporción, a continuación, también se vuelven iguales. Así que ahora queremos probar la congruencia. A continuación, se puede ampliar hacia atrás para obtener la similitud.

Mira a la izquierda, triángulo, y vamos a $AB=c$, $AC=B$. Deje $AD=d$, y deje $BD=DC=u$.

Considere la posibilidad de $\triangle ADB$, y deje $\theta$ ser el ángulo en el $D$.

Por el Coseno de la Ley, $$c^2=d^2+u^2-2du \cos(\theta).$$

Ahora en $\triangle ADC$, el ángulo en el $D$ coseno de la negativa de $\cos(\theta)$, así que de nuevo por el Coseno de la Ley, $$b^2=d^2+u^2+2du\cos(\theta).$$

Agregar, sneakily dejando $\theta$ caer fuera de la imagen. Tenemos $$c^2+b^2=2(d^2+u^2).$$

Comentario: Para deshacerse de la trigonometría, se puede bajar una perpendicular a $BC$$A$. Luego de dos aplicaciones del Teorema de Pitágoras nos da el hecho de que $c^2+b^2=2(d^2+u^2)$, que va a llegar a ser lo que necesitamos. (Los detalles del cálculo se realiza uno de los Stewart del Teorema de respuestas mencionadas anteriormente.)

En el otro triángulo, vamos a $v=QS=SR$. Recuerde que los otros lados son iguales a los correspondientes lados del primer triángulo, debido a la escala. Así $$c^2+b^2=2(d^2+v^2).$$

De ello se desprende que $u=v$, y hemos terminado.