Probar que la fórmula de inversión de tiempo es el movimiento browniano

Question

Que $B=(B_t)_{t\geq 0}$ ser un movimiento browniano. Mostrar el tiempo inversión fórmula $\hat{B}=(B_t)_t\geq0$ es un movimiento browniano, donde $t \geq 0$ lo $\hat{B}=0$ $t=0$ y $\hat{B}=tB_{1/t}$ $t>0$.

¿No puedo encontrar la manera de hacer esta pregunta, alguien me puede ayudar? Gracias

Answer 1

Nos referimos a la siguiente teorema:

Teorema. [1] Si $B$ es un proceso de tal manera que todo lo finito-dimensional de la distribución conjunta normal, $\mathbb{E}B_s = 0$ para todos los $s$, $\mathrm{Cov}(B_s,B_t) = s$ al $s \leq t$, y los caminos de la $B_t$ son continuas, entonces $B$ es un movimiento Browniano.

Deje $\hat{B}_t = t B_{1/t}$$t > 0$$\hat{B}_0 = 0$. Entonces todo está claro a excepción de $\mathrm{Cov}(\hat{B}_s,\hat{B}_t) = s$ al $s \leq t$ y la continuidad de la muestra de los caminos.

Primero, se observa que la $0 \leq s \leq t$ implica $1/t \leq 1/s$. Así

$$ \mathrm{Cov}(\hat{B}_s,\hat{B}_t) = \mathrm{Cov}(s B_{1/s}, t B_{1/t}) = st \, \mathrm{Cov}(B_{1/s}, B_{1/t}) = st (1/t) = s.$$

Siguiente, para la continuidad de la $\hat{B}$, es suficiente para mostrar la continuidad en cero, es decir,

$$\lim_{t\to 0} \hat{B}_t = \lim_{t\to 0} t B_{1/t} = \lim_{t\to\infty} \frac{B_t}{t} = 0 \quad \text{a.s.},$$

o, equivalentemente, para cualquier $\epsilon > 0$,

$$ \mathbb{P} \left( \limsup_{t\to\infty} \frac{\left| B_t \right|}{t} > \epsilon \right) = 0. $$

Para probar esto, afirmamos que la siguiente desigualdad: Para $\lambda, t > 0$,

$$ \mathbb{P} \left( \sup_{s\leq t} \left| B_s \right| \geq \lambda \right) \leq 2e^{-\lambda^2 / 2t}. $$

De hecho, vamos a $a > 0$. A continuación, $e^{aW_t}$ es un submartingale, así Doob la martingala de la desigualdad muestra que

$$ \mathbb{P} \left( \sup_{s\leq t} B_s \geq \lambda \right) = \mathbb{P} \left( \sup_{s\leq t} e^{aB_s} \geq e^{a\lambda} \right) \leq \frac{\mathbb{E}\left[ e^{aB_t} \right]}{e^{a\lambda}} = e^{a^2t/2 - a\lambda}. $$

Poner a $a = \lambda / t$ a esta desigualdad de los rendimientos

$$ \mathbb{P} \left( \sup_{s\leq t} B_s \geq \lambda \right) \leq e^{-\lambda^2/2t}. $$

Entonces la reclamación de la siguiente manera por la simetría del movimiento Browniano.

Tenga en cuenta que

$$ \begin{align*} \sup_{n \leq s \leq n+1} \frac{\left| B_t \right|}{t} \geq \epsilon & \quad \Longrightarrow \quad \exists s \in [n, n+1] \text{ such that } \left| B_s \right| > \epsilon s \\ & \quad \Longrightarrow \quad \exists s \in [n, n+1] \text{ such that } \left| B_s \right| > \epsilon n \geq \frac{\epsilon (n+1)}{2} \\ & \quad \Longrightarrow \quad \sup_{s \leq n+1} \left| B_s \right| \geq \frac{\epsilon (n+1)}{2}. \end{align*}$$

Así tenemos

$$ \begin{align*} \mathbb{P} \left( \sup_{t \geq N} \frac{\left| B_t \right|}{t} > \epsilon \right) &\leq \sum_{n=N}^{\infty} \mathbb{P} \left( \sup_{n \leq t \leq n+1} \frac{\left| B_t \right|}{t} > \epsilon \right) \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} \mathbb{P} \left( \sup_{s \leq n} \left| B_s \right| \geq \frac{\epsilon n}{2} \right) \\ &\leq 2 \sum_{n=N+1}^{\infty} e^{-\epsilon^2 n/8} = O_{\epsilon}\left( e^{-\epsilon^2 N/8} \right). \end{align*}$$

Por lo tanto, tenemos

$$\mathbb{P} \left( \limsup_{t\to\infty} \frac{\left| B_t \right|}{t} > \epsilon \right) = \lim_{N\to\infty} \mathbb{P} \left( \sup_{t \geq N} \frac{\left| B_t \right|}{t} > \epsilon \right) = 0.$$

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[1] Richard F. Bass (2011), Procesos Estocásticos, Cambridge University Press (Teorema 2.4)

Answer 2

Hay otra manera de probar esto. Que el proceso es Gaussiano y continua para $t>0$ es clara. Además tenemos a $E[\hat{B}_t]=0$$Cov(\hat{B}_s,\hat{B}_t)=s\wedge t$. Queremos usar:

El Movimiento browniano es el único proceso Gaussiano $X$ con trayectoria continua tal que $E[X_t]=0$$Cov(X_t,X_s)=t\wedge s:=\min\{t,s\}$.

Así que todo lo que tienes que comprobar es la continuidad en $0$, es decir, $$P[\lim_{t\downarrow 0}\hat{B}_t=0]=1$$

Se denota con a $Q$ la distribución de los $\hat{B}$$C(0,1]$. (Puedo demostrar esto por $t\in[0,1]$, pero no hay ningún problema para extender para el caso general.) $\mu$ debe ser el Wiener medida en $C[0,1]$. Ahora tenemos $\mu = Q$ $C(0,1]$ ya que tienen el mismo finito dimensionales distribuciones marginales. Por lo tanto

$$P[\lim_{t\downarrow 0}\hat{B}_t=0]=Q[x\in C(0,1]|\lim_{t\downarrow 0}x(t)=0]=\mu[x\in C(0,1]|\lim_{t\downarrow 0}x(t)=0]=P[\lim_{t\downarrow 0}B_t=0]=1$$

saludos

matemáticas