Primera nota de que $f\in L^4(\Omega)$ implica $f\in L^1(\Omega)$, por lo tanto la hipótesis de $f\in L^4(\Omega)\cap L^1_{loc}(\Omega)$ es innecesario. Ahora, considere el problema
$$\etiqueta{P}
\left\{ \begin{array}{cc}
\Delta v=0 &\mbox{ in %#%#%} \\
v=f &\mbox{ in %#%#%}
\end{array} \right.
$$
Es bueno saber que si $\Omega$, entonces el problema de $\partial\Omega$ tiene una única solución a $f\in H^{1/2}(\partial\Omega)$ satisfacción $(P)$ en el sentido débil. Pero $v\in H^1(\Omega)$ está contenido en $(P)$ (Sobolev Incrustación de objetos), donde en nuestro caso $H^1(\Omega)$$
De $L^{2^\star}$ llegamos a la conclusión de que $$\tag{1}2^\star=\frac{2N}{N-2}=6$.
Observación 1: $(1)$ $v\in L^4(\Omega)$ implica que el $f\in L^4(\Omega)$, lo que implica que $Df\in L^2(\Omega)$
Observación 2: Para resolver el problema $f\in H^1(\Omega)$ nos procced de la siguiente manera:
Reclamo: La solución de $\operatorname{trace}(f)\in H^{1/2}(\partial\Omega)$ se caracteriza por $(P)$$
Denotar $v\in H^1$
Primera nota de que $$\tag{2}\int_\Omega |\nabla v|^2=\min\{\int_\Omega |\nabla u|^2: u\in H^1(\Omega)\ \mbox{and}\ \ \operatorname{trace}u=f\}$ no vacío, debido a que $\mathcal{K}=\{\int_\Omega |\nabla u|^2: u\in H^1(\Omega)\ \mbox{and}\ \ \operatorname{trace}u=f\}$ es surjective, por lo tanto, podemos tomar reducir a un mínimo la secuencia en la $\mathcal{K}$, es decir, una secuencia $\operatorname{trace}:H^1(\Omega)\to H^{1/2}(\Omega)$ satisfacción $\mathcal{K}$$
Intenta demostrar que $u_n\in\mathcal{K}$$$\int_\Omega |\nabla u_n|^2\to \inf\mathcal{K}$. Tenga en cuenta que $\|\nabla u_n-\nabla u_m\|_2\to 0$, por lo tanto, por la desigualdad de Poincaré podemos concluir que $n,m\to\infty$$
Esto implica la existencia de algunos $u_m-u_n\in H_0^1(\Omega)$ tal que $$\|u_n-u_m\|_{1,2}\to 0$$v\in H^1(\Omega)$. Ahora puede concluir.
Comentario 3: permítanme proponer otra forma de resolver este problema.
Deje $u_n\to v$ y definen $H^1$ $K=\{\int_\Omega |\nabla u|^2: u\in H^1(\Omega)\ \mbox{and}\ \ \operatorname{trace}u=f\}$$
Primera nota de que $F:K\to\mathbb{R}$ es cerrado y convexo. Ahora, intentar mostrar:
I - $$\tag{3}F(u)=\int_\Omega|\nabla u|^2$ es coercitivo, es decir, si $K$$F$,$\|u\|_{1,2}\to\infty$,
II - $K$ es levemente inferior semicontinuo, es decir, si $F(u)\to\infty$ converge débilmente a$F$,$u_n\in K$,
III - $u\in K$ es convexa.
I, II y III implica que $F(u)\leq\liminf F(u_n)$ es minimizada por algunos $F$, lo que implica que $F$.
