¿Cuál podría ser un homeomorfismo del círculo a un triángulo?

Question

Estoy buscando una biyección de un círculo a un triángulo que sea continua con una inversa continua. ¿Cuál podría ser una?

Answer 1

Aquí hay una animación que hice mostrando tal homeomorfismo:

Mathematica código:

CirclePoint\[t\_\] := {Cos\[2 Pi t\], Sin\[2 Pi t\]}

TrianglePoint\[t\_\] := 
 If\[0 <= t < 1/3,
   {((1-(3t))+(-1/2) (3t)), -(1/Sqrt\[3\])(((1-(3t))+(-1/2)(3t))+1/2)+Sqrt\[3\]/2}, 
 If\[1/3 <= t < 2/3,
   {-1/2, (1-(3t-1))Sqrt\[3\]/2+(3t-1)(-Sqrt\[3\]/2)},
   {((-1/2)(1-(3t-2))+(3t-2)),
          (1/Sqrt\[3\])(((-1/2)(1-(3t-2))+(3t-2))+1/2)-Sqrt\[3\]/2}\]\]

CircleTriangle\[s\_\] := 
 ParametricPlot\[(1-s) CirclePoint\[t\] + s TrianglePoint\[t\], {t, 0, 1},
   PlotRange -> {{-1.1, 1.1}, {-1.1, 1.1}}, Ticks -> None, Axes -> False\]

Export\["animation2.gif", 
 Join\[Table\[CircleTriangle\[Max\[s, 0\]\], {s, -0.1, 1, 0.02}\], 
  Table\[CircleTriangle\[Min\[s, 1\]\], {s, 1.1, 0, -0.02}\]\], 
 "DisplayDurations" -> 0.1\]

Answer 2

Voy a suponer que por círculo te refieres a la curva, no al disco, y también que por triángulo te refieres a la "curva" formada por tres segmentos de línea. En una observación al final, se menciona cómo modificar las cosas si se trata de un disco y un triángulo con interior.

Nos dan un círculo $C$ y un triángulo $T$ . Dibuja el círculo interior $C^\ast$ de $T$ . Existe una biyección natural $\varphi$ de $C$ a $C^\ast$ (escalar y traducir).

Produciremos una biyección desde $C^\ast$ a $T$ . Dejemos que $O$ sea el centro de $C^\ast$ y que $P$ sea cualquier punto de $C^\ast$ . Dibuja el rayo semi-infinito $OP$ . Este rayo se encuentra con el triángulo en un punto definido de forma única. Sea $\psi(P)$ sea ese punto. Entonces $\psi$ es una biyección continua con inversa continua de $C^\ast$ a $T$ Así que $\psi\circ\varphi$ es una biyección continua desde $C$ a $T$ con inversa continua.

Observación: Utilizando una idea similar, podemos encontrar una biyección continua con inversa continua desde cualquier disco $C$ a la figura formada por un triángulo y su interior. Lo único que tenemos que hacer es modificar la definición de $\psi$ . Sea $O$ sea el centro del disco $C^\ast$ y que $P$ sea un punto de la frontera de ese disco. Supongamos que el rayo $OP$ se encuentra con el límite del triángulo en $Q$ y que $X$ sea un punto en el disco y en el segmento de línea $OP$ . Mapa $X$ al grano $Y$ en el segmento de línea $OP$ tal que $\frac{OY}{OX}=\frac{OQ}{OP}$ .

Answer 3

Creo que puede ser algo así.

Answer 4

Sólo respondo para añadir un homeomorfismo diferente: hacer coincidir la longitud de arco a lo largo del círculo con el perímetro acumulado a lo largo del triángulo.