Desigualdad de Grönwall no lineal

Question

Dejemos que $T>0$ , $\alpha,\beta>0$ y considerar una función continua no negativa $x$ en $[0,T]$ tal que para todo $t \in [0,T]$ uno tiene $$x(t) \leq \alpha+\beta\left(\int_0^t x(s)\,\mathrm ds \right)^{1/2}.$$ ¿Alguien sabe qué tipo de desigualdad de Grönwall puedo obtener de esto? Sería fantástico si puedo obtener algo como $x(t) \leq Ct$ .

Answer 1

La desigualdad implica $$ x(t) \le \alpha + \epsilon \int_0^tx(s) ds + \frac{\beta}{4 \epsilon} $$ para cualquier $\epsilon > 0$ . Por la desigualdad habitual de Gronwall, esto implica $$ x(t) \le \left(\alpha + \frac{\beta}{4 \epsilon} \right) e^{\epsilon t} $$ para cualquier $t > 0,\epsilon > 0$ . Ahora, establece $\epsilon = t^{-1}$ para obtener $$ x(t) \le \left(\alpha + \frac{\beta}{4} t \right)e $$ Es posible que pueda obtener mejores constantes si elige $\epsilon = \delta t^{-1}$ con el derecho $\delta > 0$ .

Answer 2

Mediante un cambio de variables adecuado podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\alpha=\beta=1$ . También supondré que $x(t)\ge0$ . Sea $u(t)=\int_0^t x(s)\,ds$ . Entonces $$ u'(t)\le1+\sqrt u\implies\frac{u'}{1+\sqrt u}\le1. $$ Integrar y utilizar $u(0)=0$ obtenemos $$ 2\sqrt{u}-2\log(1+\sqrt u)\le t. $$ Dejemos que $f(u)$ sea la función del lado derecho de la desigualdad anterior. Es una función cóncava, y satisface las siguientes desigualdades: $$ f(u)\ge\begin{cases} 2(1-\log2)u & \text{if }0\le u\le1,\\ 1-2\log2+\sqrt u &\text{if }u>1. \end{cases} $$ De aquí se deduce que $u(t)\le C_1\,t$ donde $0\le u\le1$ y $u(t)\le C_2\,t^2$ donde $u>1$ . Esto significa que para $x$ tenemos límites de la forma $$ x(t)\le\begin{cases} 1+A\,\sqrt t & \text{if $t$ small,}\\ B\,t &\text{if $t$ large,} \end{cases} $$ para algunas constantes $A$ y $B$ .