¿Yablo ' paradoja de s? una paradoja sin autorreferencia

Question

De la paradoja de Yablo surge de considerar el siguiente conjunto infinito de oraciones:

$$(S_1): \mbox{para todo }k > 1, S_k\mbox{ false} \\ (S_2): \mbox{para todo }k > 2, S_k\mbox{ false} \\ (S_3): \mbox{para todo }k > 3, S_k\mbox{ false} \\ \vdots \\ (S_i): \mbox{para todo }k > i, S_k\mbox{ false} \\ \vdots $$ [a partir de la paradoja de Yablo]

Si $S_1$ es verdadera, entonces el $S_2$ y cada $i>2$ $S_i$ son falsas. entonces hay un $i>2$, $S_i$ es cierto(de $S_2$), entonces se contradice. Si $S_1$ es falso, de la misma manera, puede llevar a la contradice.

La paradoja es preocupante mí, ¿ alguien aquí enviar cualquier comentario?

Answer 1

Aquí está una formulación alternativa:

No existe un conjunto $S\subseteq{\Bbb N}$ tal que para cada $n\in\Bbb N$, $n\in S$ iff $\forall k>n\, k\notin S$.

En primer lugar, vamos a comprobar $S$ es no vacío. Si $1\in S$, que se hacen; de lo contrario, $\exists k>1$ tal que $k\in S$.

Dado que el $k\in S$, sabemos $\forall n>k, n\notin S$. Pero desde $k+1\notin S$, esto implica $\exists n>k+1$ tal que $n\in S$, lo cual es una contradicción.

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De esta forma, la circularidad es evidente: Las declaraciones son acerca de las condiciones en $S$, los cuales son bastante triviales y obviamente contradictorio. Incluso si el tratamiento de las oraciones individuales (elementos de $S$) por separado, la estructura de las implicaciones forma un grafo completo $K_{\Bbb N}$, e incluso a pesar de las implicaciones "sólo van en una sola dirección", fácilmente podemos darles la vuelta a través de contrapositives para obtener los (muchos) circular implicación de los ciclos.

Una manera de entender las implicaciones que se tenga en cuenta que si $i<j$, $\forall n>i\ n\notin S$ implica $\forall n>j\ n\notin S$, por lo que hay un avance implicación $S_i\to S_j$ todos los $i<j$. Al mismo tiempo, $S_i$ implica también la $\neg S_j$ todos los $i<j$ por la virtud de su declaración, por lo que por contrapositivo, $S_i\to S_j\to \neg S_i$ para cualesquiera dos enteros $i<j$. Así, la paradoja de Yablo es acribillado con la circular paradojas, y cualquier persona que intenta convencerlo de que no es circular, está tirando de la cadena.

Answer 2

En primer lugar, observe la definición de $S$ es muy explícitamente auto-referencial. Pero eso está bien, ya que es una definición recursiva, y definiciones recursivas son bellas si se configura correctamente.

El problema es que no se trata de un bien fundadas recursión: no hay ningún caso base. Por lo que no puede invocar el teorema que dice que las definiciones recursivas son bien definidos.

Así que ni siquiera podemos decir que lo que has escrito es una definición . A priori, todo lo que podemos decir es que es un conjunto infinito de condiciones en una secuencia $S$ de proposiciones, que puede o no puede tener una solución, y si lo hace, la solución puede o puede no ser única. La situación realmente no es tan diferente de la resolución de sistemas de "ordinario" ecuaciones que involucran variables reales y de la aritmética.

Su análisis muestra que el sistema de "ecuaciones" que $S$ debe satisfacer es inconsistente; por lo tanto, el sistema no tiene ninguna solución para $S$. En particular, esto demuestra que este sistema no implícitamente definir una secuencia $S$ de proposiciones.

Answer 3

Respuesta corta: la Auto-referencia no es el problema; la referencia es el problema.

Respuesta larga: Vamos a examinar esta declaración S1. ¿Qué significa esto?

S1 significa "S2 es falso y S3 es falso y S4 es falso y..."

OK, vamos a ampliar algunos más, utilizando la definición de S2:

"(S3 es verdadero o S4 es verdadero o S5 es cierto o...) y S3 es falso y S4 es falso y..."

OK, entonces podemos empezar a ampliar esto con la definición de S3:

"((S4 es falso y S5 es falso y...) o S4 es verdadero o S5 es cierto...) y (S4 es verdadero o S5 es verdadera o....) y el S4 es falso y S5 es falso..."

Creo que se puede ver, esta expansión nunca va a terminar. Es imposible escribir lo que S1 significa en realidad.

En la matemática moderna, se requiere que sea posible escribir una declaración en su totalidad, sin referirse a otras declaraciones -- declaraciones deben tener significado por sí mismos. Técnicamente hablando, las declaraciones no son permitidos para referirse el uno al otro en absoluto. Ahora, por supuesto, si he declaraciones como

T1: 1>0

T2: 2>1

T3: 1>0 y 2>1

Entonces puedo resumir T3 como "T1 es verdadera y T2 es verdad"; pero "T1 es verdadera y T2 es verdad" es sólo un resumen legible por humanos; no es la declaración formal. Declaraciones formales, como he dicho anteriormente, debe estar de pie en su propia y no se les permite referirse el uno al otro.

Esta es la razón de la paradoja de Yablo no es un problema en la matemática moderna.

(Nota, por cierto, de que Russell paradoja ¿ no utilizar este tipo de auto-referencia o referencia de cualquier tipo. La paradoja del mentiroso aún no puede ser formulado en el moderno marco de la lógica de primer orden; de la paradoja de Russell puede ser, y sólo requiere de la adecuada axiomas a aparecer. Sí, definitivamente, tienen una especie de auto-referencial de calidad, pero no es lo mismo).