Convergencia de $\sum_{k=1}^{\infty} \left (\sum_{j=1}^{k}\frac 1 j\right)^{-k}$

Question

¿Hace $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \left (\sum_{j=1}^{k}\frac 1 j\right)^{-k}$ converge?

Vamos a llamar el interno suma $a_k$ tal que $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (a_k)^{-k}$, aplicación de prueba de la raíz obtenemos el %: $(a_k)^{-1}= \left(\sum_{j=1}^{k}\frac 1 j\right)^{-1} = \frac {1}{1/1+1/2+...1/k}<1$

Por lo que la suma dada converge. ¿Es eso correcto?

Answer 1

A partir del segundo término, el $k$ th término es más $(1 + 1/2)^{-k} = (2/3)^k$, puesto que el $\sum_{k=2}^{\infty} (2/3)^k$ de la serie geométrica converge tan igual que la serie original.

Answer 2

Una buena idea en caso se presente otra vez la serie armónica:

Observe que $\sum_{k=1}^{\infty} \left (\sum_{j=1}^{k}\frac 1 j\right)^{-k}$ es de la misma naturaleza como $ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{( \ln k)^k}$ porque $\sum_{j=1}^{k}\frac 1 j \sim \ln k$

Ahora desde $\ln k >1$ $k>3$ la serie obviamente converge en comparación con la serie geométrica con término general $\frac{1}{ (\ln 4)^n}$.