Pila con estabilizadores afín pero no cuasi afine diagonal

Question

Dar un ejemplo de una pila X con grupos afines estabilizador y diagonal separado pero no cuasi-afín.

Observaciones:

1) si X tiene grupos finitos estabilizador entonces la diagonal es cuasi-finitos y separados, por lo tanto casi afín (de Zariski MT).

2) si se nos cae la condición que la diagonal de X es separada, es fácil encontrar ejemplos.

3) los grupos de estabilizador de X son afín si y sólo si son cuasi-afín.

Answer 1

He aquí un ejemplo:

En X13 de "Faisceaux ejemplos sur les esquemas en grupos", Raynaud proporciona un ejemplo de un esquema de grupo G -> S en chacteristic 2 donde

1. S es un local de esquema regular de la dimensión 2.
2. G -> S es suave, separados y cuasi-compacto.
3. Las fibras de la G ->S son afines y la genérica de fibra está conectado.

tales que G -> S no es cuasi-proyectiva.

Por lo tanto, la clasificación de la pila de BG ha afín estabilizadores, pero no tiene una cuasi-afín a la diagonal.

Por otro lado, en la VII 2.2, Este fenómeno demuestra que si G> S es una superficie lisa, finitely presentado esquema de grupo, tales que

1. S es normal.
2. G -> S se ha conectado fibras.
3. La máxima de las fibras son afines.

a continuación, G -> S es cuasi-afín.

Pregunta: Es la declaración de arriba verdadero si (2) se debilita a exigir que el número de componentes conectados a través de una fibra s \in S se prime la característica del residuo campo k(s)?

Por supuesto, uno realmente quisiera saber si la afirmación es verdadera si G>S no es necesariamente plana de modo que uno podría aplicar a la inercia de la pila.

En una nota relacionada, Este fenómeno también se proporciona un ejemplo en VII3 de un suave cuasi-afín esquema de grupo G -> A^2 sobre un campo k conectado con fibras, sino que no es afín. La clasificación de la pila de BG da un ejemplo de pila con afín y conectado estabilizadores, pero con no afín a la inercia de la pila. En el ejemplo de un esquema con los no-afín a la diagonal, la inercia es, por supuesto, afín. También es fácil dar ejemplos de no-afín grupo de esquemas con el afín pero no conectado fibras (por ejemplo. el esquema de grupo obtenido por la eliminación de la no-identidad elemento sobre el origen de Z/2Z -> A^2).