Cómo mostrar que$\int_{0}^{\pi}(1+2x)\cdot{\sin^3(x)\over 1+\cos^2(x)}\mathrm dx=(\pi+1)(\pi-2)?$

Question

¿Cómo mostramos eso?

ps

$$\int_{0}^{\pi}(1+2x)\cdot{\sin^3(x)\over 1+\cos^2(x)}\mathrm dx=(\pi+1)(\pi-2)\tag1$ Es un poco difícil comenzar con

ps

Ajuste $(1)$

$$\int_{0}^{\pi}(1+2x)\cdot{\sin(x)[1-\sin^2(x)]\over 1+\cos^2(x)}\mathrm dx\tag2$

ps

ps

$u=\cos(x)$

ps

ps

ps

En cuanto a$du=-\sin(x)dx$ estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Usando el hecho de que $$ \ int_0 ^ \ pi xf (\ sin x) \, dx = \ frac \ pi2 \ int_0 ^ \ pi f (\ sin x) \, dx $$ y ese$\cos^2=1-\sin^2x$ Que esto se aplica), se obtiene que su integral es igual a $$ (1 \ pi) \ int_0 ^ \ pi \ frac {\ sin ^ 3 x} {1 \ cos ^ 2x} {\ Sin ^ 3 x} {1 \ cos ^ 2x} = \ frac {(1- \ cos ^ 2x) \ sin x} {1 \ cos ^ 2x} = \ frac {2} {1 \ Cos ^ 2x} \ sin x- \ sin x $$ encontramos que tu integral equivale a $$ (1 \ pi) \ bigl [-2 \ arctan (\ cos x) \ cos x \ bigr] _0 ^ \ pi = (1 \ pi) (\ pi-2). $$

Answer 2

No estoy seguro de que este es el más fácil (pero es un enfoque viable). Tenga en cuenta que la antiderivada de$v'=\sin^3 x/(1+\cos^2 x)$ viene dada por$v=\cos x -2 \arctan \cos x$. Así, podemos integrar el problema por partes y obtener$$I = (\cos x -2 \arctan \cos x)(1+2x)\Big|_{x=0}^\pi -2 \underbrace{\int_0^\pi(\cos x -2 \arctan \cos x)dx}_{=I_2}.$ $

Ahora puede observar que$v=\cos x -2 \arctan \cos x$ es antisimétrico alrededor de$x=\pi/2$ (porque$\cos$ es antisimétrico alrededor de$x=\pi/2$ y$\arctan$ es antisimétrico alrededor de%. Por lo tanto, la integral restante desaparece$x=0$ y obtenemos$(I_2=0)$ $

Answer 3

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Realizar el cambio de la variable$J=\displaystyle \int_{0}^{\pi}(1+2x)\cdot{\sin^3(x)\over 1+\cos^2(x)}\mathrm dx$,

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Por lo tanto,

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Realizar el cambio de la variable$y=\pi-x$ en la última integral,

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Por lo tanto,

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Answer 4

INSINUACIÓN:

Utilizar $\displaystyle I=\int_a^bf(x)\ dx=\int_a^bf(a+b-x)\ dx$

así que eso $\displaystyle I+I=\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx$

Ahora use$\sin^3x\ dx=-(1-\cos^2x)d(\cos x)$

Así que reemplaza$\cos x=u$

Answer 5

No estoy seguro si es el enfoque correcto,$$\int_{0}^{\pi}(1+2x)\cdot{\sin^3(x)\over 1+\cos^2(x)}\mathrm dx$ $ Integrando por partes, tomando$(1+2x)$ como primera función y luego tenemos:

ps

Entonces para$$(1+2x)\int_{0}^{\pi}\frac{sin^3x}{1+cos^2x}dx-2\int_{0}^{\pi}(\int_{0}^{v}\frac{sin^3x}{1+cos^2x}dx)dv$ lo simplifica como:$\int_{0}^{\pi}\frac{sin^3x}{1+cos^2x}dx$ $ substitute$$\int_{0}^{\pi}\frac{(1-cos^2x)sinx}{1+cos^2x}dx$ y allí después es bastante simple de calcular. Por algún método de integración.